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[1] 解：过O点向正三角形ABC边BC，CA，AB作垂线，分别交BC，CA，AB于D,E,F。连EF。FD,DE，显然点A,E,O,F四点共圆，且AO为直径，又∠EAF=60°所以EF=(5*√3)/2，用同样方法可得：FD=2*√3，DE=(3*√3)/2。
易验证三角形DEF为直角三角。三角形DEF的面积S为：9/2， 注意：点O是三角形DEF的费马点。根据费马点公式： (EF+FD+DE)^2=(EF^2+FD^2+DE^2+4*S√3)/2=(75+36*√3)/4，所以 EF+FD+DE=[√(25+12*√3)]*√3/2。
设正三角形ABC边长为a,又正三角形ABC的高h=OD+OE+OF,h=(a√3)/2,故 a=√(25+12*√3) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 如对三角形费马点不熟悉，可有下列解法。
[2]解：过O点向正三角形ABC边BC，CA，AB作垂线，分别交BC，CA，AB于D,E,F。连EF。FD,DE，令OD=x,OE=y,OF=z。显然点A,E,O,F四点共圆，且AO为直径，又∠EAF=60°,所以EF=(5*√3)/2，用同样方法可得：FD=2*√3，DE=(3*√3)/2。
注意：∠EOF=∠FOD=∠DOE=120°在三角形OEF,OFD,ODE中，据余弦定理： y^2+z^2+yz=75/4; z^2+x^2+zx=12; x^2+y^2+xy=37/4 解此方程组得x,y,z。
以下省略。 ………………………………………………………………………… [3]解 用几何变换直接求(旋转法)，可惜我不会在电脑上作图。 将△AOC绕C点按逆时针旋转60°，点A到达点B，点O到达点K，即 △ACO≌ △BCK，且△OCK是正三角形， OK=3,BK=OA=5,OB=4,根据勾股定理逆定理知∠BOK=90°。
延长CO，过B作BL⊥CO交CO的延长线于L。 ∠BOL=180-90-60=30°，故BL=2,OL=2√3。 BC^2=BL^2+CE^2=2^2+(3+2√3)^2=25+12√3 。
易验证三角形DEF为直角三角。三角形DEF的面积S为：9/2， 注意：点O是三角形DEF的费马点。根据费马点公式： (EF+FD+DE)^2=(EF^2+FD^2+DE^2+4*S√3)/2=(75+36*√3)/4，所以 EF+FD+DE=[√(25+12*√3)]*√3/2。
设正三角形ABC边长为a,又正三角形ABC的高h=OD+OE+OF,h=(a√3)/2,故 a=√(25+12*√3) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 如对三角形费马点不熟悉，可有下列解法。
[2]解：过O点向正三角形ABC边BC，CA，AB作垂线，分别交BC，CA，AB于D,E,F。连EF。FD,DE，令OD=x,OE=y,OF=z。显然点A,E,O,F四点共圆，且AO为直径，又∠EAF=60°,所以EF=(5*√3)/2，用同样方法可得：FD=2*√3，DE=(3*√3)/2。
注意：∠EOF=∠FOD=∠DOE=120°在三角形OEF,OFD,ODE中，据余弦定理： y^2+z^2+yz=75/4; z^2+x^2+zx=12; x^2+y^2+xy=37/4 解此方程组得x,y,z。
以下省略。 ………………………………………………………………………… [3]解 用几何变换直接求(旋转法)，可惜我不会在电脑上作图。 将△AOC绕C点按逆时针旋转60°，点A到达点B，点O到达点K，即 △ACO≌ △BCK，且△OCK是正三角形， OK=3,BK=OA=5,OB=4,根据勾股定理逆定理知∠BOK=90°。
延长CO，过B作BL⊥CO交CO的延长线于L。 ∠BOL=180-90-60=30°，故BL=2,OL=2√3。 BC^2=BL^2+CE^2=2^2+(3+2√3)^2=25+12√3 。
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