高数——微分方程微分方程x*(d
微分方程x*(dy/dx)=y(lny-lnx)的通解为_________。
这是一个可化为齐次方程的方程。
解 原方程可化为
dy/dx=(y/x)*ln(y/x) (1)
令y/x=u,则y=ux,
于是 dy/dx=x*du/dx+u,
代入(1)，得
x*du/dx+u=ulnu,
即 x*du/dx=u(lnu-1),
分离变量得
du/u(lnu-1)=dx/x,
两边积分得
ln|lnu-1|=lnx+C,
ln|ln(y/x)-1|=lnx+C,
即 ln|lny-lnx-1|=lnx+C。
所以，所求的隐式通解为
ln|lny-lnx-1|=lnx+C。
注：...全部
微分方程x*(dy/dx)=y(lny-lnx)的通解为_________。
这是一个可化为齐次方程的方程。
解 原方程可化为
dy/dx=(y/x)*ln(y/x) (1)
令y/x=u,则y=ux,
于是 dy/dx=x*du/dx+u,
代入(1)，得
x*du/dx+u=ulnu,
即 x*du/dx=u(lnu-1),
分离变量得
du/u(lnu-1)=dx/x,
两边积分得
ln|lnu-1|=lnx+C,
ln|ln(y/x)-1|=lnx+C,
即 ln|lny-lnx-1|=lnx+C。
所以，所求的隐式通解为
ln|lny-lnx-1|=lnx+C。
注：显式通解的化法
ln|lny-lnx-1|=lnx+Cln|lny-lnx-1|=lnx+lne^C
ln|lny-lnx-1|=ln(e^C*x)lny-lnx-1=±e^C*x
lny-lnx-1=C'xlny=1+lnx+C'x
y=e^(1+lnx+C'x)y=e*e^(lnx)*e^(C'x)
y=e*x*(e^C')^xy=e*x*C"^x。
其中C'=±e^C,C"=e^C'。
。收起
