帮忙做道数学题在三角形ABC内部
在三角形ABC内部有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度,求证:三角形ABC是等腰三角形。
上述命题是第二十五届美国数学竞赛试题，有许多证法。 下面提供两种证明方法。
证明一 以PC为轴, 作轴反射变换, 设B---->B’, 连CB', AB, PB'。 则ΔCBB'为正三角形,PB=PB'。
由∠CBP=40°, ∠CBB’=60°知∠PBB’=20°。
而PB=PB’, 所以∠BB'P=∠PBB’=20°=∠BAP。 因此P,A,B',B四点共圆,
于是∠PB'A=∠PBA=10°, 从而∠BB'A=30°。
但由于ΔCBB'为正三...全部
在三角形ABC内部有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度,求证:三角形ABC是等腰三角形。
上述命题是第二十五届美国数学竞赛试题，有许多证法。
下面提供两种证明方法。
证明一 以PC为轴, 作轴反射变换, 设B---->B’, 连CB', AB, PB'。 则ΔCBB'为正三角形,PB=PB'。
由∠CBP=40°, ∠CBB’=60°知∠PBB’=20°。
而PB=PB’, 所以∠BB'P=∠PBB’=20°=∠BAP。 因此P,A,B',B四点共圆,
于是∠PB'A=∠PBA=10°, 从而∠BB'A=30°。
但由于ΔCBB'为正三角形, 所以B'A为BC的中垂线，
故AB=AC, 即ΔABC是等腰三角形。
证明二 以PA为轴, 作轴反射变换, 设B---->B’, 连BB', AB', PB'。 则ΔPBB'为正三角形, 所以∠PB'B=60°=2∠PCB。 又B'B=B'P，从而点B’'为ΔPBC的外心, 所以BB’=CB' 。
又∠BAB'=2∠BAP=40°，∠CBA=50°。 所以AB'⊥BC，
因此AB’ 是BC的中垂线, 于是AB=AC,
故 ΔABC是等腰三角形。
还有其它证法，如需要请留言。
下面再给两种不同证法,供参考！
证明三 设∠BCP=x,则∠CBP=80°-x。
由塞瓦定理的等价式得:
sin20°*sin40°*sin(80°-x)=sin10°*sin30°*sinx
4cos10°*sin40°*(sin80°*cosx-sinx*cos80°=sinx
tanx=(4cos10°*sin40°*sin80°)/(4cos10°*sin40°*cos80°+1)
注意下面三角恒等变换
4cos10°*sin40°*cos80°+1=2sin40°cos70°+1=2cos50°cos70°+1
=1+cos120°+cos20°=1/2+cos20°
4cos10°*sin40°*sin80°=2cos10°*(cos40°-cos120°)
=cos10°+2cos10°*cos40°=cos10°+cos30°+cos50°
=cos30°+2cos20°*cos30°=cos30°(1+2cos20°)
=√3*(1/2+cos20°)
故得：tanx=√3 即x=60°。
所以∠ACB=80°-60°+30°=50°=∠BAC。
因此三角形ABC是等腰三角形。
证明四 以BC为轴，作轴反射变换, 设P---->P’,
则ΔCPP'为正三角形,PB=P'B。
∠P'BC=∠CBP=40°,
由此即知 ∠BPP'=50°=∠ABC。
由己知条件知∠BPC=110°,∠APB=150°。
据正弦定理及倍角公式得:
PP'/BC==PC/BC=sin40°/sin110°=sin40°/cos20°=2sin20°。
BP/AB=sin20°/sin150°=2sin20°。
所以PP'/BC=BP/AB。
从而得 ΔBPP'∽ΔABC,而ΔBPP'是等腰三角形。
故ΔABC是等腰三角形。
。
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