观察题目
1^3=1, 1^3+2^3=9 1^3+2^3+3^3=36 1^3+2^3+3^3+4^3=100 ..... 那么1^3+2^3+3^3...+n^3=______________.(N为正整数)
全部回答
解：记n^m的前n项和为S(m),m为自然数，易得S(1)=n(n+1)/2
S(2)=n(n+1)(2n+1)/6
(i+1)^4-i^4=4i^3+6i^2+4i+1 ---------(1)
令(1)中的i=1,2,。
。。
,n-1,把相应得到n-1个的两边对应相加，得 n^4-1=4S(3)+6S(2)+4S(1)+n 整理得S(3)=S(1)^2=[n(n+1)/2]^2 事实上1^3=1^2 1^3+2^3=9=(1+2)^2 1^3+2^3+3^3=36=(1+2+3)^2 ……………… 所以1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 。
。。
,n-1,把相应得到n-1个的两边对应相加，得 n^4-1=4S(3)+6S(2)+4S(1)+n 整理得S(3)=S(1)^2=[n(n+1)/2]^2 事实上1^3=1^2 1^3+2^3=9=(1+2)^2 1^3+2^3+3^3=36=(1+2+3)^2 ……………… 所以1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 。
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