求初中数学竞赛三角形公式只要三角形的 比如说三角形的五心 梅涅劳斯定理等等要内容
正弦(sin):角α的对边比上斜边 余弦(cos):角α的邻边比上斜边 正切(tan):角α的对边比上邻边 余切(cot):角α的邻边比上对边 正割(sec):角α的斜边比上邻边 余割(csc):角α的斜边比上对边 同角三角函数间的基本关系式 •平方关系: (sinx)^2 (cosx)^2=1 1+(tanx)^2=(secx)^2 1+(cotx)^2=(cscx)^2 •积的关系: sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=...全部
正弦(sin):角α的对边比上斜边 余弦(cos):角α的邻边比上斜边 正切(tan):角α的对边比上邻边 余切(cot):角α的邻边比上对边 正割(sec):角α的斜边比上邻边 余割(csc):角α的斜边比上对边 同角三角函数间的基本关系式 •平方关系: (sinx)^2 (cosx)^2=1 1+(tanx)^2=(secx)^2 1+(cotx)^2=(cscx)^2 •积的关系: sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα •倒数关系: tanα •cotα=1 sinα •cscα=1 cosα •secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 对称性 180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。 180度 α的终边和α的终边关于原点对称。 180度/2-α的终边关于y=x对称。 三角函数恒等变形公式 •两角和与差的三角函数: cos(α β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ cos(α-β)=cosα•cosβ sinα•sinβ sin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβ tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanα•tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanα•tanβ) •三角和的三角函数: sin(α β γ)=sinα•cosβ•cosγ cosα•sinβ•cosγ cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sinγ cos(α β γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cosγ tan(α β γ)=(tanα tanβ tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tanγ•tanα) •辅助角公式: Asinα Bcosα=√(A² B²)sin(α arctan(B/A)),其中 sint=B/√(A² B²) cost=A/√(A² B²) tant=B/A Asinα-Bcosα=√(A² B²)cos(α-t),tant=A/B •倍角公式: sin(2α)=2sinα•cosα=2/(tanα cotα) cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α tan(2α)=2tanα/(1-tan²α) •三倍角公式: sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα•sin(60° α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα•cos(60° α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan³α) = tanαtan(π/3 α)tan(π/3-α) •半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1 cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1 cosα))=sinα/(1 cosα)=(1-cosα)/sinα •降幂公式 sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos²α=(1 cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan²α=(1-cos(2α))/(1 cos(2α)) •万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1 tan²(α/2)] cosα=[1-tan²(α/2)]/[1 tan²(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)] •积化和差公式: sinα•cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)] cosα•sinβ=(1/2)[sin(α β)-sin(α-β)] cosα•cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)] sinα•sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)] •和差化积公式: sinα sinβ=2sin[(α β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α β)/2]sin[(α-β)/2] cosα cosβ=2cos[(α β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α β)/2]sin[(α-β)/2] •推导公式 tanα cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1 cos2α=2cos²α 1-cos2α=2sin²α 1 sinα=[sin(α/2) cos(α/2)]² •其他: sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0 cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0 以及 sin²(α) sin²(α-2π/3) sin²(α 2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0 cosx cos2x 。
。。 cosnx= [sin(n 1)x sinnx-sinx]/2sinx 证明: 左边=2sinx(cosx cos2x 。。。 cosnx)/2sinx =[sin2x-0 sin3x-sinx sin4x-sin2x 。
。。 sinnx-sin(n-2)x sin(n 1)x-sin(n-1)x]/2sinx (积化和差) =[sin(n 1)x sinnx-sinx]/2sinx=右边 等式得证 sinx sin2x 。
。。 sinnx= - [cos(n 1)x cosnx-cosx-1]/2sinx 证明: 左边=-2sinx[sinx sin2x 。。。 sinnx]/(-2sinx) =[cos2x-cos0 cos3x-cosx 。
。。 cosnx-cos(n-2)x cos(n 1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n 1)x cosnx-cosx-1]/2sinx=右边 等式得证 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a a) =sin2acosa cos2asina =2sina(1-sin²a) (1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60° sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60° a)/2] =4sinasin(60° a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a 30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)] =4cosacos(60°-a)cos(60° a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a) 三角函数的诱导公式 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 三角形的性质 1。
三角形的任何两边的和一定大于第三边 ,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。 2。三角形内角和等于180度 3。等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一。
4。直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 5。三角形共有六心:三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线 内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。
性质:到三边距离相等。 外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心。 性质:到三个顶点距离相等。 重心:三条中线的交点。 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心:三条高所在直线的交点。 性质:此点分每条高线的两部分乘积 旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质:到三边的距离相等。 界心:经过三角形一顶点的把三角形周长分成1:1的直线与三角形一边的交点。
性质:三角形共有3个界心,三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。 欧拉线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。 6。
三角形的外角(三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角)等于与其不相邻的内角之和。 7。一个三角形最少有2个锐角。 8。三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段。
9。等腰三角形中,等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。 10。勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a² b²=c² 那么这个三角形就一定是直角三角形。 11。
三角形的外角和是360°。 12。等底等高的三角形面积相等。 13。底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比。 14。三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
15。在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA tanB tanC。 16。三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 17。全等三角形对应边相等,对应角相等。 三角形的面积公式:(1)S△=1/2*ah(a是三角形的底,h是底所对应的高) (2)S△=1/2*ac*sinB=1/2*bc*sinA=1/2*ab*sinC(三个角为∠A∠B∠C,对边分别为a,b,c,) (3)S△=√〔s*(s-a)*(s-b)*(s-c)〕 【s=1/2(a b c)】(海伦—秦九韶公式) (4)S△=abc/(4R)【R是外接圆半径】 (5)S△=1/2*(a b c)*r 【r是内切圆半径】 (6)。
| a b 1 | S△=1/2 * | c d 1 | 。| e f 1 | 【。| a b 1 | 。| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC 。
| e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面。收起