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二次项定理习题

证明这个n阶算术平均值大于一阶算术平均值的方法很多。这儿作为二次项展开的习题，我们用二项式展开来做。 我们先来证明一个结论： 对任何k:0,1,。。。,n a^kb^(n-k)+a^(n-k)b^k=0 所以上面不等式 (1)成立。 把要证的不等式写成： 2^n(a^n+b^n)>=2(a+b)^n。 。。。。(2) 看右边2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n=[C(n,0)a^0b^n+C(n。 1)a^1b^(n-1)+。。。+C(n,n)a^0b^n]+[C(n,0)b^0a^n+C(n,1)b^1a^(n-1)+。。。+C(n,n)b^na^0] 展开，其k项为...全部

  证明这个n阶算术平均值大于一阶算术平均值的方法很多。这儿作为二次项展开的习题，我们用二项式展开来做。 我们先来证明一个结论： 对任何k:0,1,。。。,n a^kb^(n-k)+a^(n-k)b^k=0 所以上面不等式 (1)成立。
   把要证的不等式写成： 2^n(a^n+b^n)>=2(a+b)^n。 。。。。(2) 看右边2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n=[C(n,0)a^0b^n+C(n。
  1)a^1b^(n-1)+。。。+C(n,n)a^0b^n]+[C(n,0)b^0a^n+C(n,1)b^1a^(n-1)+。。。+C(n,n)b^na^0] 展开，其k项为 C(n,k)a^kb^(n-k)+C(n,k)b^ka^(n-k) =C(n,k)[a^kb^(n-k)+b^ka^(n-k)] (根据不等式(1)) <=C(n,k)[a^n+b^n] 所以2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n <=C(n。
  0)(a^n+b^n)+C(n,1)(a^n+b^n)+。。。+C(n,k)(a^n+b^n)+。。。+C(n。n)(a^n+b^n) =(a^n+b^n)*(C(n,0)+C(n,1)+。
  。。+C(n,n)) =(a^n+b^n)2^n=(2)的左边 因此(2)得证。 。收起