请高手解答:昆虫追逐问题2以前在
实际上可设ａ＝２,v=1
这题要使用微分几何的定理做。
称昆虫为质点,每质点按顺时针方向针方向朝另一质点运动．
1。由于4点做相同的运动,且初始状态时4点的位置为正方形,
所以4点始终以原正方形的中心为对称中心,即4点的位置始终
是正方形,因此每质点的运动方向与其两侧的质点运动方向
始终垂直。
2。由于是平面的4点,所以可设A,B,C,D四个质点初始状态时的位置,在复平面分别
为-1+i，1+i,1-i,-1-i
A向B运动，
设A，B的自然参数方程分别为：
r1（s）=x1（s）+iy1（s），r2（s）=x2（s）+iy2（s），
其中s为每个质点从初始位置开始所走的路程的长度。 ...全部
实际上可设ａ＝２,v=1
这题要使用微分几何的定理做。
称昆虫为质点,每质点按顺时针方向针方向朝另一质点运动．
1。由于4点做相同的运动,且初始状态时4点的位置为正方形,
所以4点始终以原正方形的中心为对称中心,即4点的位置始终
是正方形,因此每质点的运动方向与其两侧的质点运动方向
始终垂直。
2。由于是平面的4点,所以可设A,B,C,D四个质点初始状态时的位置,在复平面分别
为-1+i，1+i,1-i,-1-i
A向B运动，
设A，B的自然参数方程分别为：
r1（s）=x1（s）+iy1（s），r2（s）=x2（s）+iy2（s），
其中s为每个质点从初始位置开始所走的路程的长度。
根据1。得B的轨迹是A的轨迹的渐伸线，由渐伸线的性质得:
r2（s）=r1（s）+（E1-s)(r1)'(s）,
(r1)'（0）=v=1，r2（0）=1+i，r1（0）=-1+i==》E1=2
==》
r2（s）=r1（s）+（2-s)r1'（s） （1）。
3。由对称性知，B在复平面的位置为A在复平面的位置顺
时针绕0点转90度，所以
r2（s）=-ir1（s） （2），
（1），（2）得==》
[1+i]r1（s）+（2-s)r1'（s）=0，
解微分方程得：
r1（s）=E2（2-s）e^[iln(2-s)],
s=0==>E2=[√2/2]e^[-iln(2)+3iπ/4]
==>
r1（s）=√2/2（2-s）e^[-iln(2)+3iπ/4]e^[iln(2-s)],
A的轨迹的参数方程为：
x1（s）=√2/2（2-s）cos[-ln2+3π/4+ln(2-s)],
y1（s）=√2/2（2-s）sin[-ln2+3π/4+ln(2-s)]。
其他质点的轨迹为A的轨迹顺时针绕0点旋转90度,
180度,270度而成,即B,C,D的轨迹分别为:
-ir1（s）,-r1（s）,ir1（s）。
4。
为什么没有任何物体可以匀速在这些曲线上行进?
因为4质点同时到中心0的路程的长度=2(有限),
但每个质点顺时针绕0点旋转无穷圈,也就是说:
每个质点顺时针绕0点旋转角速度趋近于无穷。
当然每个质点的轨迹连续,但在0点不可导。
这是数学的曲线,但不是物理的曲线。
。收起
