数学问题:(有图)正三棱柱ABC
1,(有图)正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2a,AB=a,D是侧棱B1B的中点
(1)求证:平面ADC1⊥平面ACC1A1
如图
取AC1的中点E,过点E作AC的垂线,垂足为F
连接DE、BF
因为ABC-A1B1C1为正三棱锥
所以,AA1//CC1//BB1,且均垂直于底面ABC
所以,EF//CC1
又,E为AC1中点
所以,EF为△ACC1的中位线
所以,EF=CC1/2=a
已知D为BB1中点
所以,BD=BB1/2=a
所以,EF//==BD
则,四边形BDEF为平行四边形
又,DB⊥BF
所以,四边形BDEF为矩形
则,DE⊥EF
很明显有,DC1=D1=√2a,即...全部
1,(有图)正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2a,AB=a,D是侧棱B1B的中点
(1)求证:平面ADC1⊥平面ACC1A1
如图
取AC1的中点E,过点E作AC的垂线,垂足为F
连接DE、BF
因为ABC-A1B1C1为正三棱锥
所以,AA1//CC1//BB1,且均垂直于底面ABC
所以,EF//CC1
又,E为AC1中点
所以,EF为△ACC1的中位线
所以,EF=CC1/2=a
已知D为BB1中点
所以,BD=BB1/2=a
所以,EF//==BD
则,四边形BDEF为平行四边形
又,DB⊥BF
所以,四边形BDEF为矩形
则,DE⊥EF
很明显有,DC1=D1=√2a,即△DAC1为等腰三角形
而,E为底边AC1中点
所以,DE⊥AC1
所以,DE⊥面ACC1A1
而,DE包含于面AC1D
所以,面AC1D⊥面ACC1A1
(2)若平面ADC1与底面ABC所成的角为θ,求sinθ的值 答案:2√5/5
有前面的过程知,四边形BDEF为矩形
所以,DE=BF=(√3/2)a
而,等腰△DAC1中,DC1=DA=√2a,AC1=√5a
所以,S△DAC1=(1/2)AC1*DE=(1/2)*√5a*(√3a/2)=(√15/4)a^2
而,△ABC的面积S△ABC=(1/2)*AC*BF=(1/2)*a*(√3a/2)=(√3/4)a^2
已知,CC1⊥ABC,DB⊥ABC
所以,△ABC为△ADC1在底面上的投影
所以,cosθ=S△ABC/S△ADC1=(√3a^2/4)/(√15a^2/4)=1/√5
所以,sinθ=2√5/5
2,若六棱锥S-ABCDEF的侧棱SA的长是10cm,底面ABCDEF是边长为8cm的正六边形,且棱锥的高过底面正六边形的中心,这个棱锥被平行于底面的平面所截,截得的截面面积是32√3/3, 求这个截面和底面之间的距离 答案:4
如图
因为棱锥的高过正六边形的中心O
所以,SA=SB=SC=SD=SE=SF
已知SA=10,底面边长为8
那么,OA=8
所以,由勾股定理得到:棱锥的高SO=6
底面正六边形ABCDEF的面积:S底=6*[(1/2)*8*8*(√3/2)]=96√3
设平行于底面的截面为A'B'C'D'E'F',那么这两个正六边形为相似形
所以,(SA'/SA)^2=S截/S底=(32√3/3)/(96√3)=1/9
所以,SA'/SA=1/3
而,SA'/SA=SO'/SO
所以,SO'/SO=1/3
则,SO'=SO/3=6/3=2
所以,OO'=SO-SO'=6-2=4。
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