用洛必达法则求下列极限
1、lim(x→0+) ln(tan3x)/ln(tan4x)
＝lim(x→0+) 1/tan3x×(sec3x)^2)×3/(1/tan4x×(sec4x)^2×4)
＝lim(x→0+) tan4x/tan3x×(cos4x)^2/(cos3x)^2×3/4
＝3/4×lim(x→0+) tan4x/tan3x
＝3/4×lim(x→0+) 4x/3x（等价无穷小替换）
＝3/4×4/3＝1
2、lim(x→0) x×cotx
＝lim(x→0) x/tanx
＝lim(x→0) 1/(secx)^2
＝lim(x→0) (cosx)^2＝1
3、lim(x→0) x^(tanx)...全部
1、lim(x→0+) ln(tan3x)/ln(tan4x)
＝lim(x→0+) 1/tan3x×(sec3x)^2)×3/(1/tan4x×(sec4x)^2×4)
＝lim(x→0+) tan4x/tan3x×(cos4x)^2/(cos3x)^2×3/4
＝3/4×lim(x→0+) tan4x/tan3x
＝3/4×lim(x→0+) 4x/3x（等价无穷小替换）
＝3/4×4/3＝1
2、lim(x→0) x×cotx
＝lim(x→0) x/tanx
＝lim(x→0) 1/(secx)^2
＝lim(x→0) (cosx)^2＝1
3、lim(x→0) x^(tanx)＝lim(x→0) e^(tanx×lnx)
lim(x→0) tanx×lnx
＝lim(x→0) x×lnx （等价无穷小替换）
＝lim(x→0) lnx/(1/x)
＝lim(x→0) 1/x / (－1/x^2)
＝lim(x→0) (－x)＝0
所以，lim(x→0) x^(tanx)＝lim(x→0) e^(tanx×lnx)＝e^0＝1
4、lim(x→π/2) tanx/tan5x
＝lim(x→π/2) sinx/sin5x×cos5x/cosx
＝sin(π/2)/sin(5π/2)×lim(x→π/2) cos5x/cosx
＝lim(x→π/2) cos5x/cosx
＝lim(x→π/2) －sin5x×5/(－sinx)
＝5×sin(5π/2)/sin(π/2)＝5。
收起
