多面体问题一个多面体，各个面的内角总和为3600°，且各个面的边数及过每一顶点的棱数相同，求它的面数、顶点数和棱数。
由欧拉公式，凸多面体顶点个数V，面数S，棱数P有如下关系：
V-2=P-S
凸多面体如果有V个顶点，它的各个面多边形的内角总和=(V-2）*360°
(V-2）*360°=3600°，V=12
设过每一顶点有n条棱(n>=3)，则nV=2P, 2P=12n
(1)2P=12n是S的倍数，(2)P=6n
由欧拉公式，12-2=6n-S, S=6n-10
当n=3时，S=8, 不满足(1)
当n=4时，S=14，不满足(1)
当n=5时，S=20，满足(1)，P=30
V=12，S=20，P=30
面数=20、顶点数=12、棱数=30
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由欧拉公式，凸多面体顶点个数V，面数S，棱数P有如下关系：
V-2=P-S
凸多面体如果有V个顶点，它的各个面多边形的内角总和=(V-2）*360°
(V-2）*360°=3600°，V=12
设过每一顶点有n条棱(n>=3)，则nV=2P, 2P=12n
(1)2P=12n是S的倍数，(2)P=6n
由欧拉公式，12-2=6n-S, S=6n-10
当n=3时，S=8, 不满足(1)
当n=4时，S=14，不满足(1)
当n=5时，S=20，满足(1)，P=30
V=12，S=20，P=30
面数=20、顶点数=12、棱数=30
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在以求出V=12的基础上另解：
设过每一顶点有n条棱(n>=3)，则nV=2P, 2P=12n, P=6n
设每一面有m条棱(m>=3)，则mS=12n, S=12n/m
由欧拉公式: V-2=P-S
12-2=6n-12n/m，5=3n-6n/m
m=6n/(3n-5)=2+10/(3n-5)
经检验，n=5时，m=3
P=30，S=20。
面数=20、顶点数=12、棱数=30
。收起
