院内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，如何证明？

如何证明托罗密定理（初3圆）

由于画不了图，这里仅提供思路： 设圆内接四边形的四条边长分别为a, b, c, d; 其对角线长分别为e, f。根据题意，是要证明 ef=ac+bd （这里省略乘号）。 思路： ef再乘以其夹角正弦值的一半即为该四边形的面积（很易证明的）。 然而，a和c、 b和d分别互为对边，它们的乘积与三角形的面积扯不上关系，所以要想办法分别将a和c、 b和d转化为某四边形的两对邻边（而这个四边形也内接于该圆且其面积与原四边形相等）！具体办法办法如下： 设原四边形的顶点分别是A, B, C, D（逆时针排序）, DA=a,AB=b,BC=c,CD=d。 过点D作DD'平行于对角线AC并交圆于D',...全部

  由于画不了图，这里仅提供思路： 设圆内接四边形的四条边长分别为a, b, c, d; 其对角线长分别为e, f。根据题意，是要证明 ef=ac+bd （这里省略乘号）。 思路： ef再乘以其夹角正弦值的一半即为该四边形的面积（很易证明的）。
  然而，a和c、 b和d分别互为对边，它们的乘积与三角形的面积扯不上关系，所以要想办法分别将a和c、 b和d转化为某四边形的两对邻边（而这个四边形也内接于该圆且其面积与原四边形相等）！具体办法办法如下： 设原四边形的顶点分别是A, B, C, D（逆时针排序）, DA=a,AB=b,BC=c,CD=d。
   过点D作DD'平行于对角线AC并交圆于D',连结AD'和CD'，得到一个新的四边形ABCD'，根据圆的性质知AD'=CD=d, CD'=AD=a, 这样原本是互为对边的a和c、b和d就转化为四边ABCD'的邻边了，而且四边形ABCD'的面积与四边形ABCD的面积相等（因为三角形ACD’与三角形CAD全等,而三角形ABC不变)！然后证明原四边形的对角线e和f的夹角与新四边形中的顶角BCD’（或顶角BAD’）相等或互补。
  最后用三角形的面积公式及一些面积等量代换即可。 设 原四边形的对角线e和f的夹角为 β,连结BD'，则面积 S(原四边形ABCD)=(1/2)ef*sinβ= S(新四边形ABCD’)=(1/2)ac*(sin角BCD’)+(1/2)bd*(sin角BAD’)=(1/2)*(ac+bd)*(sin角BCD’) =(1/2)*(ac+bd)*(sin角BAD’)（因为 角BCD’与角BAD’互补)。
   即(1/2)ef*sinβ= (1/2)*(ac+bd)*(sin角BCD’)[或者 =(1/2)*(ac+bd)*(sin角BAD’)]，接下来证明 β与角BCD’(或角BAD’)互等或互补即可。
   就说到这儿，后面的证明很明了，你可以根据以上所述画图，自己证明就行了。 楼上的兄弟说用余弦定理，我没试过。但我说的方法一定可以证明的。 。收起