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函数的值域怎么求?

函数的值域怎么求?求方法

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2019-04-21

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    1.观察法 用于简单的解析式。 y=1-√x≤1,值域(-∞, 1] y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞)。 2。配方法 多用于二次(型)函数。
   y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, +∞) y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞) 3。   换元法 多用于复合型函数。
   通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域。 特别注意中间变量(新量)的变化范围。 4。 不等式法 用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法。 y=(e^x+1)/(e^x-1), (01/(e-1), y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1)。
    值域(1+2/(e-1),+∞)。 5。 最值法 如果函数f(x)存在最大值M和最小值m。那么值域为[m,M]。 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的。 6。 反函数法 有的又叫反解法。
   函数和它的反函数的定义域与值域互换。 如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求。    那么,我们通过求后者而得出前者。 7。 单调性法 若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]。
  减函数则值域为[f(b),f(a)] http://wenku。baidu。
  com/link?url=TWMuA9_OAC7_N3-m-l8n9sn92ycRR4MILEDh-ymjRyOwBgKlrzkJrqhaSmDO-ESD5ttjON6lZ2iwt12PJ0UfhYGw3VvaDUKAuh0sgzxndUK。

2019-04-21

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    一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。
   解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。   ∴函数的知域为 。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。
   本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。  (答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
   例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
     点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
  (答案:函数的值域为{y∣y1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。   点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。
   解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
    配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域。(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
   例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。   点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。
    ∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
   练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。  (答案:值域为y≤-8或y>0)。 五.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a)。
  f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。   点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。
   解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。
     当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。 ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。
   练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( ) A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞) (答案:D)。
     六.图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。
   解:原函数化为 -2x+1 (x≤1) y= 3 (-12) 它的图象如图所示。   显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。 点评:分段函数应注意函数的端点。
  利用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七.单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
     例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。
   解:设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
     点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+√4-x 的值域。
  (答案:{y|y≥3}) 八.换元法 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。   例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
   点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。 解:设t=√2x+1 (t≥0),则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2。
     所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
  它的应用十分广泛。 练习:求函数y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4} 九.构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。   例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
   点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位 正方形。
    设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。
   ∴原函数的知域为{y|y≥5}。 点评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。  这是数形结合思想的体现。
   练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2}) 十.比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。
   例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。   点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。 解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
     当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。 函数的值域为{z|z≥1}。 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。
     练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})。

2019-04-20

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    求函数值域方法•常数分离法•不等式法•配方法•逆求法•换元法•判别式法一、 配方法通过配方结合函数图像求函数的值域,一般地,对于二次函数 求值域问题可运用配方法。二、 反函数法 一般地,形如 ,可利用原函数与反函数的定义域和值域之间的互逆关系。
  
  三、 分离常数法一般地,对于分式函数来说,可以分离一个常数去求函数的值四、 判别式法一般地。  形如 ,转化为关于y的一元二次方程,利用方程有实数解, 来求y。五、 换元法 一般地,形如 ,通过换元 (注意此时t的范围)六、 分类讨论法 通过分类讨论函数定义域x的符号去求值域。

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