设点是圆上任意一点,由点向轴作垂线,垂足为,且.()求点的轨迹的方程;()设直线...
()代入法:设点,,则由题意知,由可得点与点坐标间的关系式,再根据点在圆上代入点坐标即可得到坐标方程,即所求轨迹方程;()设,,联立消掉得的二次方程,由题意知,根据直线,,的斜率成等比数列,得,即,借助韦达定理可得,的等式,进而求得值,代入即可解得的范围;依题意,,即,变形为,的式子,进而用韦达定理可得,的等式,据与的关系式消掉直线方程中的,即可求得该直线所过定点; 解:()设点,,则由题意知。 由,,且,得。所...全部
()代入法:设点,,则由题意知,由可得点与点坐标间的关系式,再根据点在圆上代入点坐标即可得到坐标方程,即所求轨迹方程;()设,,联立消掉得的二次方程,由题意知,根据直线,,的斜率成等比数列,得,即,借助韦达定理可得,的等式,进而求得值,代入即可解得的范围;依题意,,即,变形为,的式子,进而用韦达定理可得,的等式,据与的关系式消掉直线方程中的,即可求得该直线所过定点; 解:()设点,,则由题意知。
由,,且,得。所以,于是,又,所以。所以,点的轨迹的方程为。()设,。联立,得。所以,,即。,且,依题意,,即,所以。所以。所以,即。因为,所以,解得。将得代入,得。所以,的取值范围是。曲线与轴正半轴的交点为。
依题意,,即。于是。,即,,化简,得。解得,或,且均满足,当时,直线的方程为,直线过定点(舍去);当时,直线的方程为,直线过定点。所以,直线过定点。
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,轨迹方程,直线斜率及等比数列等有关知识,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,综合性强,难度较大。收起
