怎样证明勾股定理

    中间有一些符号实在是打不出来，请见谅 证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
   从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。   即 a^2+b^2+4×ab/2=c^2+4×ab/2， 整理得 a^2+b^2=c^2。
   【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。
     ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF。 ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。
   ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。   ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形。 它的面积等于c2。 ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA。
   ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。   又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。
   ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2 。 ∴(a+b)^2=4×ab/2+c^2 。   ∴a^2+b^2=c^2 。
   【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 。 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状。
   ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB。   ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。
   ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º。   ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 。 ∴4×ab/2+(b-a)^2=c^2 。
   ∴a^2+b^2=c^2 。 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。   把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。
   ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC。 ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º。
     ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。 ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于c^2/2 。 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC。
     ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a+b)^2/2 。 ∴(a+b)^2/2=2×ab/2+c^2/2 。 ∴a^2=b^2=c^2 。 【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c。
     把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过C作AC的延长线交DF于点P。 ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º。
     又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º。 ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD。
   ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º。   即 ∠CBD= 90º。 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a。
   ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形。 设多边形GHCBE的面积为S，则 a^2+b^2=S+2×ab/2,c^2=S+2×ab/2 ∴ a^2+b^2=c^2 。
     【证法6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c。 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。
   过点Q作QP∥BC，交AC于点P。   过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N。 ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º。
     ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA。
     同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF。 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）。 【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD。
     过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L。 ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于a^2/2 ， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 = a^2。
     同理可证，矩形MLEB的面积 =b^2 。 ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ c^2=a^2+b^2 ，即a^2+b^2=c^2 。
   【证法8】（利用相似三角形性质证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。   在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB。
   AD∶AC = AC ∶AB， 即AC^2=AD×AB 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有BC^2=BD×AB 。   ∴AC^2+BC^2=(AD+BD)×AB=AB^2 ，即 a^2+b^2=c^2。
   【证法9】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c。 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形。
     过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R。 过B作BP⊥AF，垂足为P。 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H。 ∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC。
   又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA。   ∴ DH = BC = a，AH = AC = b。
   由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA。 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a。 ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA。
     ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA 。 ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA 。 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形。
     ∴ GF = FH = a 。 TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a 。 ∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）。
   用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 c^2=S1+S2+S3+S4+S5 ① ∵ S8+S3+S4 =(b+(b-a))(a+b-a)/2=b^2-ab/2 ， S5=S8+S9， ∴S3+S4 =b^2-ab/2-S8=b^2-S1-S8 。
     ② 把②代入①，得 c^2= S1+S2+b^2-S1-S8+S8+S9 = b^2+S2+S9。 ∴a^2+b^2=c^2 。 【证法10】（李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。
     做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号（如图）。 ∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE。
   又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE。   ∴ HT = AE = a。
   ∴ GH = GT―HT = b―a。 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC。
   ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC。   即 。 过Q作QM⊥AG，垂足是M。
   由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM 。 又RtΔHBT ≌ RtΔABE。
   所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM 。   即 。 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE。 ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR。
     又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC。 即S4=S6 。 ∵c^2=S1+S2+S3+S4+S5 ，a^2=S1+S6 ，b^2+S3+S7+S8 ， 又∵ S7=S2，S8=S5 ，S4=S6 ， ∴ a^2+b^2 = S1+S6+S3+S7+S8 =S1+S4+S3+S2+S5=c^2 ， 即a^2+b^2=c^2 。
     【证法11】（利用切割线定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a。
   因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线。   由切割线定理，得 AC^2 = AE×AD = (AB+BE)(AB-BD) =(c+a)(c-a)=c^2-a^2 ， 即b^2=c^2-a^2 ， ∴ a^2+b^2=c^2。
   【证法12】（利用多列米定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）。   过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆。
   根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 AB×DC=AD×BC+AC×BD， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， ∴AB^2=BC^2+AC^2 ，即c^2=a^2+b^2 ， ∴a^2+b^2=c^2 。
     【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r。
   ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF) = CE+CD= r + r = 2r, 即a+b+c=2r ， ∴a+b=2r+c 。
     ∴(a+b)^2=(2r+c)^2 ， 即a^2+b^2=4(r^2+rc)+c^2 ， ∵S(ABC)=ab/2 ， ∴2ab=4S(ABC) ， 又∵S(ABC) = S(AOB)+S(BOC)+S(AOC) = cr/2+ar/2+br/2 = (a+b+c)r/2 =(2r+c+c)r/2=c^2+rc ， ∴4(r^2+rc)=4S(ABC) ， ∴4(r^2+rc)=2ab ， ∴ a^2+b^2+2ab=2ab+c^2， ∴a^2+b^2=c^2 。
     【证法14】（利用反证法证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。 假设a^2+b^2≠c^2 ，即假设 AC^2+BC^2≠AB^2，则由 AB^2=AB·AB=AB(AD+BD)=AB·AD+AB·BD 可知AC^2≠AB·AD ，或者BC^2≠AB·AD 。
     即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB。 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB。
   在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B， ∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB。   又∵ ∠ACB = 90º， ∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º。
   这与作法CD⊥AB矛盾。 所以， 的假设不能成立。 ∴a^2+b^2=c^2 。 【证法15】（辛卜松证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c。
     作边长是a+b的正方形ABCD。 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 = (a+b)^2=4×ab/2+c^2=2ab+c^2。
   ∴ a^2+b^2+2ab=2ab+c^2 , ∴a^2+b^2=c^2 。   【证法16】（陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。
   做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号（如图）。 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， 则 AD = c。
     ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴ DM = EM―ED = ―a = b。 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， ∠AED = 90º， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC。
     ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c。 ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º。
   ∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形。   ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE。
   连结FB，在ΔABF和ΔADE中， ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE。   ∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a。
   ∴ 点B、F、G、H在一条直线上。 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG。   ∵c^2=S2+S3+S4+S5 ，b^2=S1+S2+S6 ， a^2=S3+S7 ， S1=S5=S4=S6+S7 ， ∴ a^2+b^2=S3+S7+S1+S2+S6 = S2+S3+S1+(S6+S7) = S2+S3+S4+S5 = c^2 ∴ a^2+b^2=c^2 。
     。