物理题中的递推公式1、如图所示,
可以关注棒落到地面并被反弹的瞬间。对这样的瞬间标号为0,1,2,。。。
然后,如果没弄错的话,整个过程可以用这样的时间点,划分成相似、可以用相同手段处理的子过程;而每个子过程又可以分成这样二个过程:
1)在被标号的时刻,环以某速度vn,在重力、摩擦力作用下下降。 而棒以同样大小的速度vn上升,在重力和环的摩擦力作用下上升再下降。显然,如果不考虑下一标记时刻棒是否接触地面的问题,就可以肯定棒和环最终会拥有相同速度vn’。这个阶段里,棒和环的动量的总的改变量是由重力提供的,于是可以估计出这个阶段的持续时间,并进而估计出到达这个共有速度时,棒是否落到地面。 在下的结果是,这时棒在地面以上vn...全部
可以关注棒落到地面并被反弹的瞬间。对这样的瞬间标号为0,1,2,。。。
然后,如果没弄错的话,整个过程可以用这样的时间点,划分成相似、可以用相同手段处理的子过程;而每个子过程又可以分成这样二个过程:
1)在被标号的时刻,环以某速度vn,在重力、摩擦力作用下下降。
而棒以同样大小的速度vn上升,在重力和环的摩擦力作用下上升再下降。显然,如果不考虑下一标记时刻棒是否接触地面的问题,就可以肯定棒和环最终会拥有相同速度vn’。这个阶段里,棒和环的动量的总的改变量是由重力提供的,于是可以估计出这个阶段的持续时间,并进而估计出到达这个共有速度时,棒是否落到地面。
在下的结果是,这时棒在地面以上vn^2/2g * (k-1)/k^2 的位置。
2)如果上面没算错的话,就是说从达到共有速度的时刻开始,棒和环还要一同自由落体,直到到达地面,以另一个速度vn+1,开始新一轮过程。
显然,上述1)里,环和棒有相对位移,估计这就是楼主给的总位移表达式中的一项。这个过程可能是包含无限段这种小位移的,但是总位移显然是收敛的。所以总位移含有无限项,但是有有限和。
从有等大反向速度vn到有共有速度vn’,用的时间是vn/kg。
这段时间里环下降、棒上升,各自的总位移之和就是环对棒的相对位移xn。xn=vn^2/kg
利用1),可以得到vn和vn’的关系,而利用2)可以得到vn和vn+1的关系。这样就得到了vn的递推关系,也就得到了xn的递推关系,是个等比数列。
利用最初下落高度为H的条件可以得到v0和x0,也就可以算出总的相对位移,最后正好把k约掉。
第三问和前二问明显不在一个难度上,至于为什么正好没k,想不出除了“算出来的”以外的解释。
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话说怎么没见到某“无敌”的“克星”冒头呢,这个题目难道真有那么难对付?
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关于评论。
没算错的话,由1)和2)可以得到这样的式子:
xn=vn^2/kg,这就是说每个相邻时刻之间的过程都是相似的;
vn+1 ^2 =vn^2/k,这个可以用2)推出来,显然这里xn是等比数列。
然后就是利用一开始的下落高度H,求出等比数列的第一项。
这个等比数列是无限的,其物理过程可以这么想:
显然就目力所及,棒和环不静止;
从棒和环不静止的状态开始看,它们到达下一标记时刻时必然对地有弹性碰撞,从而获得相对速度;
棒和环经过相对运动,通过摩擦而获得共有速度,而只要k>1,这是棒和环就会在地面上方一定距离处,相当于回到前一步。
从这样的思考过程里,看不处什么时候棒和环会静止,这就是相对位移是无限项等比数列的原因了。
无限项等比数列求和,数列序号n当然就是没有的。可以这么看:
无限项和为 Sn=x1+x2+。
。。+xn+。。。
把上式子左右同乘以数列公比q,有
qSn=x1*q+x2*q+。。。+xn*q+。。。=x2+x3+。。。+xn+1+。。。
由于等式右边是无限项,所以Sn和qSn只差一项x1 ,即
Sn-qSn=x1,Sn=x1/(1-q)=(2H/k)/(1-1/k)=2H/(k-1)。
——好象之前的计算有问题。收起