平面P是三角形ABC所在平面外一
证明：
1）
已知 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA；
由 PC⊥PA， PC⊥PB, PA，PB相交于P，可得PC⊥平面PAB;
而 PC 属于平面PDC，
所以 平面PDC⊥平面PAB；
2）
在三角形PAB中，角APB 是直角， PA = a, PB =b, 由勾股定理：
|AB|^2 = a^2+b^2； |AB| = sqrt(a^2+b^2);
令AD = x; 在三角形APD中，由余弦定理：
|PD|^2 = a^2+x^2-2*axcos(角PAD)
= a^2 +x^2 -2ax*a/sqrt(a^2+b^2);
故
|PD| = sqrt(a^2 + x^2 - 2...全部
证明：
1）
已知 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA；
由 PC⊥PA， PC⊥PB, PA，PB相交于P，可得PC⊥平面PAB;
而 PC 属于平面PDC，
所以 平面PDC⊥平面PAB；
2）
在三角形PAB中，角APB 是直角， PA = a, PB =b, 由勾股定理：
|AB|^2 = a^2+b^2； |AB| = sqrt(a^2+b^2);
令AD = x; 在三角形APD中，由余弦定理：
|PD|^2 = a^2+x^2-2*axcos(角PAD)
= a^2 +x^2 -2ax*a/sqrt(a^2+b^2);
故
|PD| = sqrt(a^2 + x^2 - 2a^2*x/sqrt(a^2+b^2));
由于 平面PDC⊥平面PAB，（（1）已证）
PC属于平面PDC, 故 PC ⊥平面PAB；
而PD 属于平面PAB，故 PC⊥PD,
则 三角形PDC的面积 s=|PC|*|PD|/2 =c*|PD|/2;
由于单调性，|PD|令 s取最小值相当于令 s^2 取最小值
s^2 = c^2*|PC|^2/4
= c^2(a^2 +x^2 -2a^2*x/sqrt(a^2+b^2))/4
= c^2*x^2/4 - 2*a^2*c^2*x/sqrt(a^2+b^2)/4+a^2*c^2/4
当 x = -(-2*a^2*c^2/sqrt(a^2+b^2)/4)/(2*c^2/4)
= a^2/sqrt(a^2+b^2)
= a*a/sqrt(a^2+b^2)
= a*cos(角PAD);
即PD⊥AB，即PD为三角形PAB的高时，三角形PDC的面积取得最小值,此时 三角形PDC的面积 = a^2*c/sqrt(a^2+b^2)/2。
收起
