证明:所有整系数多项式组成的集合为可列集
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定理1:若M1,M2为两个可列集。则
M1×M2为可列集。
证明:可设M1=M2=N={0,1,。。,n,。。}
定义从N-{0} 到N×N的映射f如下:
f(n)=(n-k(k+1)/2-1,k+k(k+1)/2+1-n),
其中 k(k+1)/2+1≤n≤(k+1)(k+2)/2。
显然f为从N-{0} 到N×N的一一映射。
所以N×N为可列集。
定理1的系:N^n为可列集。
证明:用定理1和归纳法容易得。
定理2:若M0,M1,。
。。,Mn,。。。为一列可列集。则
M0∪M1∪。。。∪Mn。。为可列集。
证明:可设M0,M1,。 。。,Mn,。。。两两不相交。
设Mn={A(n,m),m∈N},
定义从N×N 到M0∪M1∪。
。。∪Mn。。的映射f如下:
f(n,m)=A(n,m),
显然f为从N×N 到M0∪M1∪。。。∪Mn。。。的一一映射。
由定理1得N×N为可列集,
则M0∪M1∪。 。
。∪Mn。。。为可列集。
证明:所有整系数多项式组成的集合Z[X]为可列集
设Mn={P(X)∈Z[X],P的次数≤n}
定义从Mn到Z^(n+1)的映射f如下:
f(P)=(a0,a1,。
。,an),
其中P(X)=a0+a1X+。。,+anX^n。
显然f为从Mn到Z^(n+1)的一一映射。
所以由定理1的系得Mn为可列集。
而Z[X]=M0∪M1∪。
。。∪Mn。。。,
由定理2得Z[X]为可列。
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