看看这个命题对不对？怎么证明？任意|A
其实你的“猜想”是个很好的证明，真正揭示了正交变换的几何意义：3阶正交矩阵对应于3维欧式空间V上的正交变换，A的行列式只能等于正负1，分别对应两类正交变换：旋转，旋转与镜面反射的复合（有些书上叫第二类正交变换）。 |A|=1说明A是旋转，就得出你的结论。
代数证法：1、证明正交矩阵的实特征根只可能等于正负1；
2。 如果A有3个实特征根（重根按重数计算），那么A就可以对角化，主对角线上3个数恰好是3个特征根。 再由|A|=1可知这3个特征根全等于1 ==> A=E，矛盾。
3。 A的特征多项式是3次的，只能有1或3个实根，因此A只能有1个实特征根，且等于1。
4。设U是A的属于特征值1...全部
其实你的“猜想”是个很好的证明，真正揭示了正交变换的几何意义：3阶正交矩阵对应于3维欧式空间V上的正交变换，A的行列式只能等于正负1，分别对应两类正交变换：旋转，旋转与镜面反射的复合（有些书上叫第二类正交变换）。
|A|=1说明A是旋转，就得出你的结论。
代数证法：1、证明正交矩阵的实特征根只可能等于正负1；
2。 如果A有3个实特征根（重根按重数计算），那么A就可以对角化，主对角线上3个数恰好是3个特征根。
再由|A|=1可知这3个特征根全等于1 ==> A=E，矛盾。
3。 A的特征多项式是3次的，只能有1或3个实根，因此A只能有1个实特征根，且等于1。
4。设U是A的属于特征值1的特征子空间，即U={xεV | Ax=x},
显然U是A的一个不变子空间。
如果U是2维的，则U的补空间U'也是
A的不变子空间，维数=1。设U'=，由向量y生成，则y也是A的特征向量，进而必有Ay=y, 矛盾。可见U的维数只能=1，就是你要的结果：属于实特征值1的特征向量只有一个不相关的。
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