高中不等式问题己知a,b,c为正实数，
己知a,b,c为正实数，且a+b+c=1。求证:
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)>=9/4 (1)
证明 先证：3(a^2b+b^2c+c^2a)=2a^2b+2b^2c+2c^2a)+(a^2b+b^2c+c^2a)
=3(a^2b+b^2c+c^2a),
于是不等式(2)成立。
由柯西不等式的变式及(2)得:
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)
=a^2/(ab+c^2a)+b^2/(bc+a^2b)+c^2/(ca+b^2c)
≥(a+b+c)^2/(ab+bc+ca+a^2b+b^2c+c^2a)
≥1/[(ab+bc+ca)...全部
己知a,b,c为正实数，且a+b+c=1。求证:
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)>=9/4 (1)
证明 先证：3(a^2b+b^2c+c^2a)=2a^2b+2b^2c+2c^2a)+(a^2b+b^2c+c^2a)
=3(a^2b+b^2c+c^2a),
于是不等式(2)成立。
由柯西不等式的变式及(2)得:
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)
=a^2/(ab+c^2a)+b^2/(bc+a^2b)+c^2/(ca+b^2c)
≥(a+b+c)^2/(ab+bc+ca+a^2b+b^2c+c^2a)
≥1/[(ab+bc+ca)+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)/3]
=3/[3(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)]
=3/[(ab+bc+ca)+(a+b+c)^2]
≥3/[(1/3)(a+b+c)^2+(a+b+c)^2]
=9/4。
注：本题的其它证法讨论可参见：
仿上可证：设a,b,c>0,且a+b+c=1,则有
(1) a/(b^2+c)+b/(c^2+a)+c/(a^2+b)>=9/4,
(2) a/(b+b^2)+b/(c+c^2)+c/(a+a^2)>=9/4。
收起
