整数与余数设a，b是正整数，n是非负整数，试证若a^n/b,则a^(n+1)/[(a+1)^b-1]
"试证若a^n|b,则a^(n+1)|[(a+1)^b-1] "
记号：p为质数，m=p^s*u，（p，u）=1，
则记pot[p]（m）=s。
C（n，k）为n个数中选k个的选法数。
命题：m|n《==》所有质数p，有pot[p]（m）≤pot[p]（n）。
定理：pot[p]（C（p^s，k））=s-pot[p]（k）。
1。b=ka^n,(a+1)^b-1 =[(a+1)^(a^n)-1]*K
K为整数，只需证明a^(n+1)|[(a+1)^(a^n)-1]。
2。设pot[p]（a）=s≥1，a=p^s*u，（p，u）=1，
==》(a+1)^(a^n)-1=
=（a+1)...全部
"试证若a^n|b,则a^(n+1)|[(a+1)^b-1] "
记号：p为质数，m=p^s*u，（p，u）=1，
则记pot[p]（m）=s。
C（n，k）为n个数中选k个的选法数。
命题：m|n《==》所有质数p，有pot[p]（m）≤pot[p]（n）。
定理：pot[p]（C（p^s，k））=s-pot[p]（k）。
1。b=ka^n,(a+1)^b-1 =[(a+1)^(a^n)-1]*K
K为整数，只需证明a^(n+1)|[(a+1)^(a^n)-1]。
2。设pot[p]（a）=s≥1，a=p^s*u，（p，u）=1，
==》(a+1)^(a^n)-1=
=（a+1)^[(p^s*u）^n]-1=
={（a+1)^[(p^s）^n]-1}*K={（a+1)^[p^（ns）]-1}*K
K为整数，只需证明(p^s)^(n+1)|（a+1）^[p^（ns)]-1
由命题得只需证明：
pot[p]（(p^s)^(n+1)）=s(n+1)≤
≤pot[p]（（a+1）^[p^（ns)]-1）。
3。（a+1）^[p^（ns)]-1=
（p^s*u+1）^[p^（ns)]-1=
=p^（ns)*p^s*u+C（p^（ns），2）[p^s*u]^2+。。+
+[p^s*u]^[p^（ns)]。
当t≥1时，使用定理得。
pot[p]（C（p^（ns），t）[p^s*u]^t）=
=st+pot[p]（C（p^（ns），t））=
=st+ns-pot[p]（t）
设pot[p]（t）=b，则t=a*p^b，
==》st+ns-pot[p]（t）=
=s*a*p^b+ns-b≥s*a*（b+1）+ns-b=
=s（a+n）+b（s*a-1）≥s（1+n）
==》
s(n+1)≤
≤pot[p]（（a+1）^[p^（ns)]-1）。
命题得证。
。收起
