泰勒级数展开式有什么内容？

关于泰勒展开式的问题 问题如图：

这个问题的关键是要考虑区间。在每展开一次，都要写清楚收敛域。 级数 ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3-…… 的收敛域为(-1,1]； 级数 ln(x+2)=(x+1)-(x+1)^2/2+(x+1)^3/3-…… 的收敛域为(-2,0]； 级数 ln(x+2)=ln2+(x/2)-(x/2)^2/2+(x/2)^3/3-…… 的收敛域为(-2,2]； 注意到以上各级数的收敛域，可以知道等式 (x+1)-(x+1)^2/2+(x+1)^3/3-…… =ln2+(x/2)-(x/2)^2/2+(x/2)^3/3-…… 在区间(-2,0]上，总是成立的。 【附注】从函数的要素看： ...全部

  这个问题的关键是要考虑区间。在每展开一次，都要写清楚收敛域。 级数 ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3-…… 的收敛域为(-1,1]； 级数 ln(x+2)=(x+1)-(x+1)^2/2+(x+1)^3/3-…… 的收敛域为(-2,0]； 级数 ln(x+2)=ln2+(x/2)-(x/2)^2/2+(x/2)^3/3-…… 的收敛域为(-2,2]； 注意到以上各级数的收敛域，可以知道等式 (x+1)-(x+1)^2/2+(x+1)^3/3-…… =ln2+(x/2)-(x/2)^2/2+(x/2)^3/3-…… 在区间(-2,0]上，总是成立的。
   【附注】从函数的要素看： 函数 (x+1)-(x+1)^2/2+(x+1)^3/3-…… 和 ln2+(x/2)-(x/2)^2/2+(x/2)^3/3-…… 都不是初等函数。
   而函数ln(x+2)是初等函数。 因为三个函数有不同的定义域，所以他们互相不是同一个函数。 不能不注明区间就随便划等号。 只有当他们存在公共定义域时，那么在公共定义域上才能以等号连接。
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