高二数学立体几何问题(1)∠AO
(1)∠AOB在平面α内,斜线OC在α内的射影为OB,
若∠COA=θ ∠COB=θ1,∠BOA=θ2,
求证:cosθ=cosθ1cosθ2。
证明:过C作OB的垂直线,垂直足为B,则OB为OC在平面内的射影。 过C作CA垂直于OA,垂直足为A,连AB,则AC在平面内的射影为AB。根据三垂线定理的逆定理,AB垂直于OA。
在直角三角形COB中,∠COB的余弦=cosθ1=OB/OC。
在直角三角形BOA中,∠BOA的余弦=cosθ2=OA/OB
在直角三角形COA中,∠COA的余弦=cosθ=OA/OC
因为cosθ1cosθ2=(OB/OC)*(OA/OB)=OA/OC。
故co...全部
(1)∠AOB在平面α内,斜线OC在α内的射影为OB,
若∠COA=θ ∠COB=θ1,∠BOA=θ2,
求证:cosθ=cosθ1cosθ2。
证明:过C作OB的垂直线,垂直足为B,则OB为OC在平面内的射影。
过C作CA垂直于OA,垂直足为A,连AB,则AC在平面内的射影为AB。根据三垂线定理的逆定理,AB垂直于OA。
在直角三角形COB中,∠COB的余弦=cosθ1=OB/OC。
在直角三角形BOA中,∠BOA的余弦=cosθ2=OA/OB
在直角三角形COA中,∠COA的余弦=cosθ=OA/OC
因为cosθ1cosθ2=(OB/OC)*(OA/OB)=OA/OC。
故cosθ=cosθ1cosθ2
(2)一个直角∠AOC按它角平分线OB折叠,使OC在平面AOB内射影为OB,则折叠后∠AOC等于多少?
证明:(图与上题形式相同,字母标注也同)
过C作OB的垂直线,垂直足为B,则OB为OC在平面内的射影。
过C作CA垂直于OA,垂直足为A,连AB,则AC在平面内的射影为AB。根据三垂线定理的逆定理,AB垂直于OA。
在平面三角形AOC中, 由于OB是直角AOC的角平分线。
在空间内,角AOB=45度,角COB=45度。
设AB=a。
在直角三角形AOB中,角AOB=45度,则OA=a。OE=(根下2)*a。
在直角三角形COB中,角COB=45度,则OC=a。OC=2*a。
在直角三角形COA中,∠COA的余弦=cosθ=OA/OC
因为cosθ=OA/OC=a/(2*a)=1/2。
故θ=60度。
注意:事实上,(2)题利用了(1)的结论。
。收起