椭圆x^2/a^2+y^2/b^
证明:将直线方程y=-x+1代入椭园方程得
b²x²+a²(-x+1)²=a²b²
即(a²+b²)x²-2a²x+a²(1-b²)=0
故xA+xB=2a²/(a²+b²)=2a²/(2a²-c²)=2/(2-e²)
xAxB=a²(1-b²)/(a²+b²)=a²(1-b²)/(2a²-c²)
=(1-b²)/...全部
证明:将直线方程y=-x+1代入椭园方程得
b²x²+a²(-x+1)²=a²b²
即(a²+b²)x²-2a²x+a²(1-b²)=0
故xA+xB=2a²/(a²+b²)=2a²/(2a²-c²)=2/(2-e²)
xAxB=a²(1-b²)/(a²+b²)=a²(1-b²)/(2a²-c²)
=(1-b²)/(2-e²)
yAyB=(-xA+1)(-xB+1)=xAxB-(xA+xB)+1
=(1-b²)/(2-e²)-2/(2-e²)+1
=(1-e²-b²)/(2-e²)
∵OA⊥OB,∴向量OA•向量OB=xAxB+yAyB=0
即(1-b²)/(2-e²)+(1-e²-b²)/(2-e²)=0
即2-e²-2b²=0
∴b²=(2-e²)/2
再由b²=a²-c²=a²(1-e²)
得a²=b²/(1-e²)=(2-e²)/2(1-e²)
故椭园方程为2(1-e²)x²/(2-e²)+2y²/(2-e²)=1
用x=y=√2/2代入,左边=(1-e²)/(2-e²)+1/(2-e²)=1=右边。
∴满足条件,具有不同离心率e的所有椭园都过(√2/2,√2/2)点。
若√5≤a≤√6,即5≤a²≤6,也就是5≤(2-e²)/2(1-e²)≤6
∵e<1,∴1-e²>0,因此可去分母得10(1-e²)≤2-e²≤12(1-e²)
由10(1-e²)≤2-e²,得e²≥8/9,即e≥2√2/3
由2-e²≤12(1-e²),得e²≤10/11,即e≤√(10/11)
即2√2/3≤e≤√(10/11)为所求。收起