四边形面积公式四边形面积公式设a
四边形面积公式
设a,b,c,d表示圆内接四边形ABCD的四边，s表示半周长，S表示面积，R表示外接圆半径。
求证:4R=√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc)/[(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)]
证明 设圆内接四边形ABCD的两对角线AC，BD交于Q，记∠CQD=T，AC=m，BD=n。 过A点作AE∥BD, 交四边形ABCD的外接圆于E，连CE，BE，DE。记CE=k。
易证圆内接四边形ABCD的面积S=√[(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)] 。
而四边形ABCD的另一个面积公式:S=(AC*BD*sinT)/2=(mnsinT)/2。 ...全部
四边形面积公式
设a,b,c,d表示圆内接四边形ABCD的四边，s表示半周长，S表示面积，R表示外接圆半径。
求证:4R=√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc)/[(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)]
证明 设圆内接四边形ABCD的两对角线AC，BD交于Q，记∠CQD=T，AC=m，BD=n。
过A点作AE∥BD, 交四边形ABCD的外接圆于E，连CE，BE，DE。记CE=k。
易证圆内接四边形ABCD的面积S=√[(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)] 。
而四边形ABCD的另一个面积公式:S=(AC*BD*sinT)/2=(mnsinT)/2。
而CE=k=2R*sin(π-T)=2R*sinT，即sinT=k/(2R) 。
所以有 S=mnk/(4R)
故所证恒等式等价于:
4R=√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc)]/S
4R=4R*√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc)]/nmk
kmn=√[(ab+cd)*(ac+bd)*(ad+bc)]。
根据托勒密定理: mn=ac+bd。
k^2*(ac+bd)= (ab+cd)*(ad+bc)
bd(k^2-a^2-c^2)+ca(k^2-b^2-d^2)=0。
在△BCE和△CDE中,BE=AD=d，DE=AB=a，∠CBE+∠CDE=180°，
根据余弦定理; bd(k^2-a^2-c^2)+ca(k^2-b^2-d^2)
=bd*(2ac*cos∠CDE)+ca(2bd*cos∠CBE)=0。
证毕。
想了两天，很遗憾缺一个图，不然大家容易看懂！。收起
