高二数学题求证:51的51次方-1能被7整除(51的51次方减去1能被7整除)
51^51-1
=(2+49)^51-1
=2^51+C(51,1)*2^50*49+C(51,2)*2^49*49^2+……C(51,51)*49^51-1
=2^51-1+[C(51,1)*2^50*49+C(51,2)*2^49*49^2+……C(51,51)*49^51]
∵2^51-1
=(2^3)^17-1
=8^17-1
=(1+7)^17-1
=1+C(17,1)*7+C(17,2)*7^2+……+C（17，17）*7^17-1
=C(17,1)*7+C(17,2)*7^2+……+C（17，17）*7^17
显然能被7整除
∴2^51-1也能被7整除,
又因为C(51,1)...全部
51^51-1
=(2+49)^51-1
=2^51+C(51,1)*2^50*49+C(51,2)*2^49*49^2+……C(51,51)*49^51-1
=2^51-1+[C(51,1)*2^50*49+C(51,2)*2^49*49^2+……C(51,51)*49^51]
∵2^51-1
=(2^3)^17-1
=8^17-1
=(1+7)^17-1
=1+C(17,1)*7+C(17,2)*7^2+……+C（17，17）*7^17-1
=C(17,1)*7+C(17,2)*7^2+……+C（17，17）*7^17
显然能被7整除
∴2^51-1也能被7整除,
又因为C(51,1)*2^50*49+C(51,2)*2^49*49^2+……C(51,51)*49^51
也能被7整除,
综上所述,51的51次方-1能被7整除。
收起
