一个不等式难题一个不等式难题求助
求助一道不等式难题: 设x,y,z为正数, 求证:
[x/(2x+y)]^3+[y/(2y+z)]^3+[z/(2z+x)]^3>=1/9。
借助Maple展开
expand(9*x^3*(2*y+z)^3*(2*z+x)^3+9*y^3*(2*z+x)^3*(2*x+y)^3+9*z^3*(2*x+y)^3*(2*y+z)^3-(2*z+x)^3*(2*x+y)^3*(2*y+z)^3);
y^3*z^6+z^3*x^6+x^3*y^6+80(y^6*z^3+z^6*x^3+x^6*y^3)+6(y^4*z^5+z^4*x^5+x^4*y^5)+12(y^5*z^4+z^5*x^4+x^...全部
求助一道不等式难题: 设x,y,z为正数, 求证:
[x/(2x+y)]^3+[y/(2y+z)]^3+[z/(2z+x)]^3>=1/9。
借助Maple展开
expand(9*x^3*(2*y+z)^3*(2*z+x)^3+9*y^3*(2*z+x)^3*(2*x+y)^3+9*z^3*(2*x+y)^3*(2*y+z)^3-(2*z+x)^3*(2*x+y)^3*(2*y+z)^3);
y^3*z^6+z^3*x^6+x^3*y^6+80(y^6*z^3+z^6*x^3+x^6*y^3)+6(y^4*z^5+z^4*x^5+x^4*y^5)+12(y^5*z^4+z^5*x^4+x^5*y^4)+6xyz(y*z^5+z*x^5+x*y^5)+12xyz(y^5*z+z^5*x+x^5*y)+24xyz(y^2*z^4+z^2*x^4+x^2*y^4)+336xyz(y^4*z^2+z^4*x^2+x^4*y^2)+60(xyz)^2*(y^2*z+z^2*x+x^2*y)--294(xyz)^2*(y*z^2+z*x^2+x*y^2)-729(xyz)^3>=0
下面证明(1)式，据均值不等式可得
y^3*z^6+z^3*x^6+x^3*y^6+(xyz)^2*(y*z^2+z*x^2+x*y^2)>= xyz(y^2*z^4+z^2*x^4+x^2*y^4);
80(y^6*z^3+z^6*x^3+x^6*y^3)+80(xyz)^2*(y^2*z+z^2*x+x^2*y)>= 160xyz(y^4*z^2+z^4*x^2+x^4*y^2);
6(y^4*z^5+z^4*x^5+x^4*y^5)+6(xyz)^2*(y*z^2+z*x^2+x*y^2)>= 12(xyz)^2*(y*z^2+z*x^2+x*y^2);
12(y^5*z^4+z^5*x^4+x^5*y^4)+12(xyz)^2*(y^2*z+z^2*x+x^2*y)>= 24(xyz)^2*(y^2*z+z^2*x+x^2*y);
6xyz(y*z^5+z*x^5+x*y^5)+6(xyz)^2*(y*z^2+z*x^2+x*y^2)>= 12(xyz)^2*(x^3+y^3+z^3);
12xyz(y^5*z+z^5*x+x^5*y)+12(xyz)^2*(y^2*z+z^2*x+x^2*y)>= 12(xyz)^2*(x^3+y^3+z^3);
26 xyz(y^2*z^4+z^2*x^4+x^2*y^4)+78(xyz)^3>=52(xyz)^2*(y*z^2+z*x^2+x*y^2);
496 xyz(y^4*z^2+z^4*x^2+x^4*y^2)+1488(xyz)^3>=992(xyz)^2*(y^2*z+z^2*x+x^2*y);
所以我们只需证
9(xyz)^2*[4(x^3+y^3+z^3)+108(y^2*z+z^2*x+x^2*y)-27(y*z^2+z*x^2+x*y^2)-255xyz]>=0
即证:
4(x^3+y^3+z^3)+108(y^2*z+z^2*x+x^2*y)-27(y*z^2+z*x^2+x*y^2)-255xyz]>=0 (2)
注意熟知恒等式:
(y^2*z+z^2*x+x^2*y)-( y*z^2+z*x^2+x*y^2)=(z-x)(y-x)(y-z) (3)
如果(z-x)(y-x)(y-z)>=0，那么(2)显然成立; 如果(z-x)(y-x)(y-z)y>x, 令
z=a+b+x,y=b+x，a,b为非负实数，将其代入(2) 式化简为:
4a^3-15a^2b+66ab^2+89b^3+93xb(a+b)>=0
4a*(a-4b)^2+17a^2b+2ab^2+89b^3+93xb(a+b)>=0
显然成立，证毕。
现附上德雷纳特的一个初等证明及评论。
证明 设a,b,c为正实数，令a=y/x, b=z/y, c=x/z, 即abc=1，
则所证不等式等价于
1/(a+2)^3+1/(b+2)^3+1/(c+2)^3>=1/9 (1)
9 (b+2)^3*(c+2)^3+9(c+2)^3*(a+2)^3+9(a+2)^3*(b+2)^3>=[(a+2)*(b+2)*(c+2)]^3
上式两边各减去27[(a+2)*(b+2)*(c+2)]^2，化简整理为
9[(bc+ca+ab)+4(a+b+c)+12]*[(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)+4(a^2+b^2+c^2)+2(a+b+c)*(bc+ca+ab)-4(bc+ca+ab)-(a+b+c)-18]>=[4(a+b+c)+2(bc+ca+ab)9]^2*[2(bc+ca+ab)+4(a+b+c)-18] (2)
再令X=a+b+c, Y=bc+ca+ab, Z=abc=1, 则有
a^2+b^2+c^2=X^2-2Y, b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2=Y^2-2X。
将其代入(2) 式得:
9(4X+Y+12)*[y^2-2X+4(X^2-2Y)+2X*Y-4Y-X-18]>=[4X+2Y+9]^2*(4X+2Y-18)
9*(4X+Y+9)*(4X^2+Y^2+2XY-3X-12Y-18)>= [4X+2Y+9]^2*(4X+2Y-18)
上式展开化简为:
80X^3+Y^3+12X^2*Y+6X*Y^2+324X^2-243X*Y-972Y-486>=0 (3)
因为 Y=bc+ca+ab>=3, X^2=(a+b+c)^2>=3Y>=9,
所以 324X^2-972Y>=0，80X^3>=240X^2*Y，X^2*Y>=3X*Y。
故(3)式左边等于
(80X^3+X^2*Y-243X*Y)+(324X^2-972Y)+Y^3+11X^2*Y+6X*Y^2-486
>= Y^3+11X^2*Y+6X*Y^2-486>=3^3+11*9*3+6*3*3^2-486=0
以上每步均可逆推，故待证不等式得证。
关于此不等式的几点说明:
(1) 此不等式原创[即最早提出者, 应该可以这样说] 是我拉萨的朋友在99年底提出的，收录在《不等式研究》第一辑，编号LBQ107(a) 。
(2) 对于不等式: [x/(2x+y)]^t+[y/(2y+z)]^t+[z/(2z+x)]^t>=(1/3)^(t-1)。
它成立的最小t值在2与3之间，t是一个很复杂的方程根，所以说我们所证的不等式不是很强，但形式佳。
(3) 上述证法很实用，易掌握，但计算量偏大。
(4) 刀歌的第一种证法不严谨，但方法甚好！
(5)maxabc55证法化简后应该分解成若干非负式，不等式强弱是相对而言的，强弱的参考量是什么？例如:
a^2+b^2+c^2>=bc+ca+ab (1)
(a+b+c)^2>=3(bc+ca+ab (2)
你能确定谁强谁弱吗？应该说(1)强于(2),也可说不分强弱。
如果确定了参考量就可说明强弱。
以上如有不妥，敬请谅解！仅供参考。
。收起
