因式分解因式分解 4x的四次方-4x+1
函数f(x)=4x^4-4x+1在x＜4^(1/3)时单调减少，在x＞4^(1/3)时单调增加，最小值f[4^(1/3)]＜0。
所以方程4x^4-4x+1=0有且仅有两个实数根，分别在区间(0,4^(1/3))，(4^(1/3)),1)。
还有两个共轭复数根。
四次方程的实数根是可以利用费拉里法或者笛卡尔法“解析地”求出的，从而说明在实数范围内可以因式分解。
在实数范围内【不是】无法进行因式分解，关键是大家都缺乏足够的耐心（譬如我就是最没耐心的）。
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
但是可以证明在有理数范围内4x^4-4x+1确实是不可以因式分解！
【证明...全部
函数f(x)=4x^4-4x+1在x＜4^(1/3)时单调减少，在x＞4^(1/3)时单调增加，最小值f[4^(1/3)]＜0。
所以方程4x^4-4x+1=0有且仅有两个实数根，分别在区间(0,4^(1/3))，(4^(1/3)),1)。
还有两个共轭复数根。
四次方程的实数根是可以利用费拉里法或者笛卡尔法“解析地”求出的，从而说明在实数范围内可以因式分解。
在实数范围内【不是】无法进行因式分解，关键是大家都缺乏足够的耐心（譬如我就是最没耐心的）。
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
但是可以证明在有理数范围内4x^4-4x+1确实是不可以因式分解！
【证明】如下
【反证法】如果4x^4-4x+1在有理数范围内可以因式分解，
那么必定存在整数a,b,c；p,q,r。
使4x^4-4x+1=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+r)成立，
其中a只能是1,2,4，对应地p=4,2,1，
c=r=1（因为有两个共轭复数根，所以c=r=-1可以排除）。
从而可以断定，有理数范围内如果可以因式分解，实际上只有两种可能：
①4x^4-4x+1=(x^2+mx+1)(4x^2+nx+1)
根据待定系数法4m+n=0，mn+5=0，m+n=-4，无解。
②4x^4-4x+1=(2x^2+mx+1)(2x^2+nx+1)
根据待定系数法m+n=0，mn+4=0，m+n=-4，无解。
。收起
