三角形中线不等式
设ma,mb,mc为三角形ABC相应边上的中线,BC=a,CA=b,AB=c。 求证:
a^2mbmc+b^2mcma+c^2mamb≥[(a^2+b^2+c^2)/2]^2 (1)
证明 由Klamkin中线对偶定理知，不等式(1)等价于
bcma^2+camb^2+abmc^2≥[(a^2+b^2+c^2)/2]^2
简记为 ∑bcma^2≥[(∑a^2)/2]^2 (2)
将中线长公式：4ma^2=2b^2+2c^2-a^2代入(2), 得
∑bc(2b^2+2c^2-a^2)≥(∑a^2)^2
即 2(∑bc)(∑a^2)...全部
设ma,mb,mc为三角形ABC相应边上的中线,BC=a,CA=b,AB=c。 求证:
a^2mbmc+b^2mcma+c^2mamb≥[(a^2+b^2+c^2)/2]^2 (1)
证明 由Klamkin中线对偶定理知，不等式(1)等价于
bcma^2+camb^2+abmc^2≥[(a^2+b^2+c^2)/2]^2
简记为 ∑bcma^2≥[(∑a^2)/2]^2 (2)
将中线长公式：4ma^2=2b^2+2c^2-a^2代入(2), 得
∑bc(2b^2+2c^2-a^2)≥(∑a^2)^2
即 2(∑bc)(∑a^2)-3abc∑a≥(∑a^2)^2
亦即 (∑a^2)(2∑bc-∑a^2)-3abc∑a≥0。
(3)
由已知恒等式：∑a=2s,∑bc=s^2+4Rr+r^2,∑a^2=2(s^2-4Rr-r^2),abc=4Rrs,
及Gerretsen不等式:s^2≥16Rr-5r^2和Euler不等式：R≥2r,知
(3)的左边=2(s^2-4Rr-r^2)*4(4Rr+r^2)-24Rrs^2
=8[(R+r)s^2-(4R+r)^2r]r
≥8[(R+r)(16Rr-5r^2)-(4R+r)^2r]r
=8[(R+r)(16R-5r)-(4R+r)^2]r^2
=24(R-2r)r^3
≥0,
因此，不等式(3)成立，从而不等式(1)成立。
。收起
