数列的问题1
已知f(x)=x^2-2(n+1)x+n^2+5n-7(1)设f(x)的图像的顶点的横坐标构成数列{an}，求证{an}为等差数列。(2) 设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn
全部回答
解:(1)f(x)=x^-2(n+1)x+n^+5n-7=x^-2(n+1)x+(n^+2n+1)+3n-8=(x-n-1)^+3n-8
∴顶点的横坐标:an=n+1。
n≥ -an-1=(n+1)-n=1∴{an}为等差数列。 (2) 顶点的纵坐标:3n-8 f(x)的图像的顶点到x轴的距离∴bn=|3n-8| 当n≤2,3n-8＜0,当n≥3,3n-8＞0 ①当n≤2,即:Sn =|3×1-8|+|3×2-8|=(13-3n)n/2 ②当n≥3,即:Sn =|3×1-8|+|3×2-8|+|3×3-8|+|3×4-8|+…+|3n-8| =-(3×1-8)-(3×2-8)+(3×3-8)+(3×4-8)+…+(3n-8) =[-2(3×1-8)-2(3×2-8)]+(3×1-8)+(3×2-8)+(3×3-8)+(3×4-8)+…+(3n-8) =[-2(3×1-8)-2(3×2-8)]+(3n-13)n/2 =14+(3n-13)n/2 ∴n=1,Sn=5。
n=2,sn=7 n≥3,sn=14+(3n-13)n/2 。
n≥ -an-1=(n+1)-n=1∴{an}为等差数列。 (2) 顶点的纵坐标:3n-8 f(x)的图像的顶点到x轴的距离∴bn=|3n-8| 当n≤2,3n-8＜0,当n≥3,3n-8＞0 ①当n≤2,即:Sn =|3×1-8|+|3×2-8|=(13-3n)n/2 ②当n≥3,即:Sn =|3×1-8|+|3×2-8|+|3×3-8|+|3×4-8|+…+|3n-8| =-(3×1-8)-(3×2-8)+(3×3-8)+(3×4-8)+…+(3n-8) =[-2(3×1-8)-2(3×2-8)]+(3×1-8)+(3×2-8)+(3×3-8)+(3×4-8)+…+(3n-8) =[-2(3×1-8)-2(3×2-8)]+(3n-13)n/2 =14+(3n-13)n/2 ∴n=1,Sn=5。
n=2,sn=7 n≥3,sn=14+(3n-13)n/2 。
解：f(x)=x^2-2(n+1)x+n^2+5n-7 = [x-(n+1)]^2 +(3n-8)
顶点的坐标: (n+1,3n-8)
an=n+1，所以{an}为等差数列
∴bn=|3n-8|，设cn=3n-8，bn=|cn|当n≤2,cn=3n-8＜0,当n≥3,cn=3n-8＞0
当n≤2,Sn =b1+……bn=-（c1+……cn）=-[-5+（3n-8）]n/2=（-3n^2+13n）/2
当n≥3,Sn =b1+b2+b3+……+bn=-c1-c2+c3+c4+……+cn=c1+c2+……cn-2c1-2c2
=[-5+（3n-8）]n/2-10-4=（3n^2-13n-28）/2。
。
。
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