∫(x^2-a^2)^(1/2)/xdx
仍然用“换元法”。
解：被积函数 (x^2-a^2)^(1/2)/x＝[1-(a/x)^2]^(1/2)
设 a/x＝sinθ, 则 x＝a/sinθ, 那么
∫(x^2-a^2)^(1/2)/xdx
＝∫[1-(a/x)^2]^(1/2)dx
＝∫[1-(sinθ)^2]^(1/2)·d(a/sinθ)
＝∫cosθ·[-acosθ/(sinθ)^2]·dθ
＝a·∫-(cotθ)^2·dθ
＝a·∫[1-(csc)^2]dθ
＝a(θ+cotθ) + C (注意：用到了“d(cotθ)＝-(cscθ)^2·dθ”这一结论）
因 a/x＝sinθ，cosθ＝[1-(a/x)^2]^(1/...全部
仍然用“换元法”。
解：被积函数 (x^2-a^2)^(1/2)/x＝[1-(a/x)^2]^(1/2)
设 a/x＝sinθ, 则 x＝a/sinθ, 那么
∫(x^2-a^2)^(1/2)/xdx
＝∫[1-(a/x)^2]^(1/2)dx
＝∫[1-(sinθ)^2]^(1/2)·d(a/sinθ)
＝∫cosθ·[-acosθ/(sinθ)^2]·dθ
＝a·∫-(cotθ)^2·dθ
＝a·∫[1-(csc)^2]dθ
＝a(θ+cotθ) + C (注意：用到了“d(cotθ)＝-(cscθ)^2·dθ”这一结论）
因 a/x＝sinθ，cosθ＝[1-(a/x)^2]^(1/2)，θ＝arcsin(a/x),故
cotθ＝cosθ/sinθ＝[(x^2-a^2)^(1/2)]/a,
所以 ∫(x^2-a^2)^(1/2)/xdx＝a·arcsin(a/x) + (x^2-a^2)^(1/2) + C。
（经检验，是正确的）
。收起
