数学题目（出题）
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。 举一个简单例子。：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成。问两人合作几天可以完成？ 一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1。 所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位， 再根据基本数量关系式，得到 所需时间=工作量÷工作效率 =6（天）• 两人合作需要6天。 这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额。还是上题...全部
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。 举一个简单例子。：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成。问两人合作几天可以完成？ 一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1。
所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位， 再根据基本数量关系式，得到 所需时间=工作量÷工作效率 =6（天）• 两人合作需要6天。
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额。还是上题，10与15的最小公倍数是30。
设全部工作量为30份。那么甲每天完成3份，乙每天完成2份。两人合作所需天数是 30÷（3 2）= 6（天） 数计算，就方便些。 ∶2。或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”。
甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2。当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也 需时间是 因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些。
一、两个人的问题 标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体。 例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。乙需要做几天可以完成全部工作？ 答：乙需要做4天可完成全部工作。
解二：9与6的最小公倍数是18。设全部工作量是18份。甲每天完成2份，乙每天完成3份。乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）。 解三：甲与乙的工作效率之比是 6∶ 9= 2∶ 3。
甲做了3天，相当于乙做了2天。乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）。 例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 解：共做了6天后， 原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24 16）天。
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替。因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是 50天 如果甲独做，所需时间是 75天 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天。 例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成。
现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 解：先对比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天。 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做 因此，乙还要做 28 28= 56 （天）。
答：乙还需要做 56天。 例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）。问开始到完工共用了多少天时间？ 解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2 8 1= 11（天）。
答：从开始到完工共用了11天。 解二：设全部工作量为30份。甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 （30- 3 × 8- 1× 2）÷（3 1）= 1（天）。
解三：甲队做1天相当于乙队做3天。 在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量。相当于乙队要做2×3=6（天）。乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量。
4=3 1， 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天。 例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。
从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？ 解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了5天半。
解二：设全部工作量为60份。甲每天完成3份，乙每天完成2份。 两队休息期间未做的工作量是 （3 2）×16- 60= 20（份）。 因此乙休息天数是 （20- 3 × 3）÷ 2= 5。
5（天）。 解三：甲队做2天，相当于乙队做3天。 甲队休息3天，相当于乙队休息4。5天。 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 16-6-4。
5=5。5（天）。 例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高。
因此让李先做甲，张先做乙。 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份。 8天，李就能完成甲工作。此时张还余下乙工作（60-4×8）份。由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4 3）=4（天）。
8 4=12（天）。 答：这两项工作都完成最少需要12天。 例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他 要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份。
两人合作，共完成 3× 0。8 2 × 0。9= 4。2（份）。 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲。因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是 （30-3×8）÷（4。
2-3）=5（天）。 很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题。 例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快 如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 解：乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时。
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理。但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便。例8就是如此。例8也可以整数化，当求出乙每 有一点方便，但好处不大。不必多此一举。 二、多人的工程问题 我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多。
例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成。问甲一人独做需要多少天完成？ 解：设这件工作的工作量是1。 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人独做需要90天完成。
例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份。请试一试，计算是否会方便些？ 例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天。
这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作。问总共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）。
说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 2 6 12=20（天）。 答：完成这项工作用了20天。 本题整数化会带来计算上的方便。12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72。
可设全部工作量为72。甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3。总共用了 例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。问这项工程由甲独做需要多少天？ 解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量。
丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样。也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍。 他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要26天。
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天。三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成。 例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作。
问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？ 解一：设这项工作的工作量是1。 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组2人和乙组7人每天能完成 答：合作3天能完成这项工作。
解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成。 现在已不需顾及人数，问题转化为： 甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？ 小学算术要充分利用给出数据的特殊性。
解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数。 例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成。乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成。现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个。
问丙车间制作了多少个零件？ 解一：仍设总工作量为1。 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是 答：丙车间制作了4200个零件。 解二：10与6最小公倍数是30。
设制作零件全部工作量为30份。甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份。 乙、丙一起，8天完成。乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7。
已知 甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8。 综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 12∶8∶7。 当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是 2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）。
例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完。
问丙帮助甲、乙各多少时间？ 解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1。现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是 答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时。 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间。
本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60。甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4。 三人共同搬完，需要 60 × 2÷ （6 5 4）= 8（小时）。
甲需丙帮助搬运 （60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）。 乙需丙帮助搬运 （60- 5× 8）÷4= 5（小时）。 三、水管问题 从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的。
水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量。单位时间里的注水量或排水量就是工作效率。至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了。因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同。
例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池。现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入0。6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 解：甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9× 3）÷10=1/15 乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45 因此水池容积是：0。
6÷（1/15-2/45）=27（立方米） 答：水池容积是27立方米。 例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等。现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池。
问开始时打开了几根水管？ 分析：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。 设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4， 那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1 4）=1/5。
10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30 要注满水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根） 解：前后两段时间的注水量之比为：1：[（1-1/3）÷1/3×2]=1：4 前段时间注水量是：1÷（1 4）=1/5 每根水管在预定1/3的时间注水量为：1÷10×1/3=1/30 开始时打开水管根数：1/5÷1/30=6（根） 答：开始时打开6根水管。
例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要 4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 分析： ，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。
以后（20小时），池中的水已有 此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺。问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？ 看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口。
因此，答案是28小时，而不是30小时。 例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空。现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 解：先计算1个水龙头每分钟放出水量。
2小时半比1小时半多60分钟，多流入水 4 × 60= 240（立方米）。 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是 8 × 8 × 90， 其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）。
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要 5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）。 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟。
水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水。这在题目中却是隐含着的。 例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的。
打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空。如果打开A，B两管，4小时可将水排空。问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？ 解：设满水池的水量为1。 A管每小时排出 A管4小时排出 因此，B，C两管齐开，每小时排水量是 B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完。
本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量。由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样。这里把两种水量分别设成“1”。但这两种量要避免混淆。事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24。
17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题。从本质上讲，与例18和例19是类同的。题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草。
这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的。 例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一 草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草。问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数。
根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位。 原有草 4星期新长的草=12×4。 原有草 9星期新长的草=7×9。 由此可得出，每星期新长的草是 （7×9-12×4）÷（9-4）=3。
那么原有草是 7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）。 对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是 这些草能让 90×7。2÷18=36（头） 牛吃18个星期。
答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草。 例20与例19的解法稍有一点不一样。例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算。事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空。
”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系。但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件。好好想一想，你能明白其中的道理吗？ “牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现。限于篇幅，我们只再举一个例子。
例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。问第一个观众到达时间是8点几分？ 解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位。
从9点至9点9分进入观众是3×9， 从9点至9点5分进入观众是5×5。 因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是 （3×9-5×5）÷（9-5）=0。5。 9点前来的观众是 5×5-0。
5×5=22。5。 这些观众来到需要 22。5÷0。5=45（分钟）。 答：第一个观众到达时间是8点15分。 挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？ 分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 2÷(3/10-1/6) =2÷4/30 =15(天) 1÷(1/6-1/15)=10(天) 答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 。
。一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？ 解设:规定时间为X天。
(甲单独要X-2天,乙单独要X 3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天) 1/(X-2)×2 X/(X 3)=1 X=12 规定要12天完成 1÷[1/(12-2) 1/(12 3)] =1÷(1/6) =6天 答:两人合作完成要6天。
例：一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。
甲先做42天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为x,乙的工效为y 63x 28y=1 48x 48y=1 x=1/84 y=1/112 乙还要做（1-42/84）÷（1/112）=56（天）。收起
