解三角形练习题

在△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c，已知2[sin((A+B)/2)]^2=1+cos2C.(1)求C的大小；(2)若c^2=2b^2-2a^2，求cos2A-cos2B的值。

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2013-03-19

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(1)2[sin((A+B)/2)]^2＝1+cos2C →cos(A+B)+cos2C＝0 →2(cosC)^2-cosC-1＝0 ∴cosC＝-1/2或cosC＝1/2（舍) 即C＝2π/3. (2)c^2＝2b^2-2a^2 →(sinC)^2＝2(sinB)^2-2(sinA)^2 故cos2A-cos2B＝3/4。

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B***

2013-03-19

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(1)2[sin((A+B)/2)]^2=1+cos2C，1-cos(A+B)=2(cos)^2，2(cosC)^2-cosC-1=0,cosC≠1,cosC=-1/2，C=120度 (2)c^2=2b^2-2a^2,由正弦定理，(sinC)^2=2(sinB-sinA)(sinB+sinA) 4(sin(A+B)/2)^2*(cos(A+B)/2)^2=8cos(B+A)/2*sin(B-A)/2*sin(A+B)/2*cos(B-A)/2 2sin(B+A)/2*cos(B+A)/2=4sin(B-A)/2*cos(B-A)/2 sin(B+A)=2sin(B-A) sin(B-A)/2=(1/2)sin60°=(√3)/4 cos2A-cos2B=-2sin(A+B)sin(A-B)=-2*((√3)/2)*(-(√3)/4)=3/4。
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