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设a是大于1的自然数,求证,a^4+4是个合数证明,当n为大于2的整数时,n^5-5n^3+4n能被120整除

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2012-09-27

0 0
     n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2, =(n^2+2)^2-4n^2, =(n^2-2n+2)(n^2+2n+2), ∵n^2+2n+2>n^2-2n+2=(n-1)^2+1>1, ∴n4+4是合数. n^5-5n^3+4n =n[﹙n^2﹚^2-5n^2+4] =n﹙n^2-4﹚﹙n^2-1﹚ =n﹙n+2﹚﹙n-2﹚﹙n+1﹚﹙n-1﹚ =﹙n-2﹚﹙n-1﹚n﹙n+1﹚﹙n+2﹚ 由此可见, 当n大于2时,上式是一个连续五个自然数之积。
    五个连续自然数中必有4、5、6的倍数,那么他们的积必是4*5*6=120的倍数。 即能被120整除。

2012-09-27

67 0
    a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2+2-2a)(a^2+2+2a) =((a-1)^2+1)((a+1)^2+1) 因a>1,为自然数,故:(a-1)^2+1>1,(a+1)^2+1>5,均为自然数 故a^4+4为合数 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n2+4)=n(n^2-4)(n^2-1) =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) n>2,则n-2>0 即原式为大于0的5个连续整数之积,能被2、3、4、5整除,故: 能被2*3*4*5=120整除。
    。

2012-09-27

63 0
    证明: a⁴末尾数只能为1或6, 加上4自然是5的倍数, 因此a⁴+4是合数 也可以因式分解 a⁴+4=a⁴+4a²+4-4a²=(a²+2)²-4a²=(a²+2+2a)(a²+2-2a) 因为a是大于1的自然数 所以a²+2+2a>1, a²+2-2a>1 所以a⁴+4是合数 n⁵-5n³+4n=n(n⁴-5n²+4)=n(n²-1)(n²-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) 显然是5个连续的整数, 1×2×3×4×5=120 当整数n>2时各因子均为正数, 即n⁵-5n³+4n能被120整除。
    。

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