重积分求体积高等数学求曲面所围图
曲面z=xy与平面x+y+z=1的交线是立体图形的曲边
曲边在Oxy平面投影为(x+1)(y+1)＝2将整个图形的投影分为两部分D1与D2
即曲边所在柱面将立体图形分割为Ω＝Ω1+Ω2，Ω1在Oxy平面投影为D1，Ω2对应Oxy平面投影为D2
Ω1＝{(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤2/(x+1)-1,0≤z≤xy}
Ω1＝{(x,y,z)|0≤x≤1,2/(x+1)-1≤y≤-x+1,0≤z≤-x-y+1}
D1＝{(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤2/(x+1)-1}，顶面为z＝xy
D2＝{(x,y,z)|0≤x≤1,2/(x+1)-1≤y≤-x+1}，顶面为z＝-x-y+1
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曲面z=xy与平面x+y+z=1的交线是立体图形的曲边
曲边在Oxy平面投影为(x+1)(y+1)＝2将整个图形的投影分为两部分D1与D2
即曲边所在柱面将立体图形分割为Ω＝Ω1+Ω2，Ω1在Oxy平面投影为D1，Ω2对应Oxy平面投影为D2
Ω1＝{(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤2/(x+1)-1,0≤z≤xy}
Ω1＝{(x,y,z)|0≤x≤1,2/(x+1)-1≤y≤-x+1,0≤z≤-x-y+1}
D1＝{(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤2/(x+1)-1}，顶面为z＝xy
D2＝{(x,y,z)|0≤x≤1,2/(x+1)-1≤y≤-x+1}，顶面为z＝-x-y+1
D1+D2为如图所示区域为立体在Oxy上的全部投影，下图为立体俯视图与透视图
V＝∫∫xydxdy+∫∫(-x-y+1)dxdy
＝∫dx∫xydy+∫dx∫(-x-y+1)dy
＝1/2∫x[(x-1)/(x+1)]^2dx+∫[1/2x^2-2x+4-6/(x+1)+2/(x+1)^2]dx
＝∫[1/2x^2-3/2x+2-2/(x+1)]dx
＝[1/6x^3-3/4x^2+2x-2ln(x+1)]
＝17/12-2ln2。
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