当x趋向于0时，下列函数哪些是x高阶无穷小？哪些是同阶无穷小？

数学分析确定a和α，使下列无穷小量等价于ax^α 1.f(x)=(1+3x)^(1/2)-(1+2x)^(1/3) (x趋向于0） 2.f(x)=ln(cosx)-arctan(x^2) (x趋向于0） 求详解

1。解:f'(x)=3(1+3x)^(-1/2)/2-2(1+2x)^(-2/3)/3。 因此f'(0)=3/2-2/3=5/6。 由题意及洛必达法则得 1=lim(x→0)f(x)/ax^α =lim(x→0)f'(x)/aαx^(α-1) =lim(x→0)(5/6)/aαx^(α-1) 因此α-1=0且aα=5/6 即a=5/6,α=1。 2。 解:f'(x)=-sinx/cosx-2x/(1+x^4)=-tanx-2x/(1+x^4) f''(x)=-(secx)^2-(2-6x^4)/(1+x^4)^2 因此 f'(0)=0 f''(0)=-3 由题意及洛必达法则得 1=l...全部

  1。解:f'(x)=3(1+3x)^(-1/2)/2-2(1+2x)^(-2/3)/3。 因此f'(0)=3/2-2/3=5/6。 由题意及洛必达法则得 1=lim(x→0)f(x)/ax^α =lim(x→0)f'(x)/aαx^(α-1) =lim(x→0)(5/6)/aαx^(α-1) 因此α-1=0且aα=5/6 即a=5/6,α=1。
   2。
  解:f'(x)=-sinx/cosx-2x/(1+x^4)=-tanx-2x/(1+x^4) f''(x)=-(secx)^2-(2-6x^4)/(1+x^4)^2 因此 f'(0)=0 f''(0)=-3 由题意及洛必达法则得 1=lim(x→0)f(x)/ax^α =lim(x→0)f'(x)/aαx^(α-1) =lim(x→0)f''(x)/aα(α-1)x^(α-2) =lim(x→0)(-3)/aα(α-1)x^(α-2) 因此 aα(α-1)=-3且α-2=0 即a=-3/2,α=2。收起