均值定理

不等式基本公式有：调和平均数<几

均值不等式 设a,b为正数，M=√[(a^2+b^2)/2] ，A=(a+b)/2，G=√ab，H=2ab/(a+b) 。 求证:M≥A≥G≥H。 证明 关于二元的幂平均，算术平均，几何平均和调和平均，用代数证明很简单，我曾给出两种几何证明，参见: 下面给出第三种几何证法。 供参考！ 证明 设P是圆O外一点，连PO分别交圆O两点A与B，设PA=a，PB=b，a>b。过P作圆O的切线PC，C为切点，作CE⊥AB，交AB于E，作OD⊥AB，交圆O于D，[C与D在直径AB两侧] ，连PD。 令圆的半径为R。显然PA-PB=2R，OC=OD=OB=(a-b)/2。易知: 由PO=PB+BO ...全部

  均值不等式 设a,b为正数，M=√[(a^2+b^2)/2] ，A=(a+b)/2，G=√ab，H=2ab/(a+b) 。 求证:M≥A≥G≥H。 证明 关于二元的幂平均，算术平均，几何平均和调和平均，用代数证明很简单，我曾给出两种几何证明，参见: 下面给出第三种几何证法。
  供参考！ 证明 设P是圆O外一点，连PO分别交圆O两点A与B，设PA=a，PB=b，a>b。过P作圆O的切线PC，C为切点，作CE⊥AB，交AB于E，作OD⊥AB，交圆O于D，[C与D在直径AB两侧] ，连PD。
  令圆的半径为R。显然PA-PB=2R，OC=OD=OB=(a-b)/2。易知: 由PO=PB+BO PO=(a+b)/2; 由PC^2=PA*PB PC=√ab; 由PE*PO=PC^2 PE=2ab/(a+b); PD^=PO^2+OB^2 PD=√[(a^2+b^2)/2] 显然可直观地知:PD>PO>PC>PE。
   当圆O的半径(a-b)/2无穷小时，即A与B重合，也即a=b时，取等 设a，b是两个正数，M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b)分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均，证明: M2≥A≥G≥H。
   证明(一) 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。 如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么 E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。
   如果E2F2分梯形的中位线，那么 E2F2=(a+b)/2。 如果E3F3分梯形为两相似图形，那么 E3F3=√(ab)。 如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么 E4F4=2/(1/a+1/b)。
   从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。 证法(二) 在直线X上取CD=a，DE=b，设a≥b，以CD，DE为边，在直线X同侧作正方形DABC和正方形DGFE，显然G在线段DA上。
   正方形DABC的对角线BD与AC交于P，正方形DGFE的对角线DF与EG交于Q，连PQ。过P作PP’⊥CD交CD于P’ ，过Q作QQ’⊥DE交DE于Q’ 。显然P’ 是CD的中点，Q’ 是DE的中点， 取CE的中点O，以O为圆心，直径为CE画圆，交DA于K。
  连BF交DA于I。 下面来求M2=PQ，A=P’Q’ =KO，G=KD，H=DI。 因为CD=a，DE=b，则DP=a√(1/2), DQ=b√(1/2) 。 在Rt△PDQ中, 由勾股定理求得:PQ=√[(a^2+b^2)/2] 而P’Q’=DP’+DQ’=(CD+DE)/2=(a+b)/2。
   在Rt△CKE中，KD^2=CD*DE=ab， KD=√ab。 在Rt△BDF中，DI是∠BDF的角平分线，ID*BD*sin45°+ID*DF*sin45°=BD*DF ID*(a+b)=2ab ID=2ab/(a+b)。
   在直角梯形QQ’P’P中，显然直角腰P’Qp不大于另一腰PQ，即M2≥A。 在Rt△KDO中，显然斜边KO不小于直角边DK，，即A≥G。 在直角梯形FECB中，因为CE=EF+BC，所以以CE为半径直角腰中点O为圆心的圆的必与另一腰交于两点，故DI不大于DK，即G≥H。
   实际上从作图中可看出:PQ≥P’Q’=OK≥DK≥DI。 。收起