初中竞赛三角函数问题三角函数问题
证明 设a,b,c为正数,依题意设
(cosα)^2=a/(a+b+c),
(cosβ)^2=b/(a+b+c),
(cosγ)^2=c/(a+b+c)。
则有
(sinα)^2=(b+c)/(a+b+c),
(sinβ)^2=(c+a)/(a+b+c),
(sinγ)^2=(a+b)/(a+b+c)。
那么有
cotα=√[a/(b+c)],
cotβ=√[b/(c+a)],
cotγ=√[c/(a+b)]。
于是有
cotβ*cotγ+cotγ*cotα+cotα*cotβ
=√[bc/(c+a)(a+b)]+√[ca/(a+b)(b+c)]+√[ab/(b+c)(c+a)]
据均...全部
证明 设a,b,c为正数,依题意设
(cosα)^2=a/(a+b+c),
(cosβ)^2=b/(a+b+c),
(cosγ)^2=c/(a+b+c)。
则有
(sinα)^2=(b+c)/(a+b+c),
(sinβ)^2=(c+a)/(a+b+c),
(sinγ)^2=(a+b)/(a+b+c)。
那么有
cotα=√[a/(b+c)],
cotβ=√[b/(c+a)],
cotγ=√[c/(a+b)]。
于是有
cotβ*cotγ+cotγ*cotα+cotα*cotβ
=√[bc/(c+a)(a+b)]+√[ca/(a+b)(b+c)]+√[ab/(b+c)(c+a)]
据均值不等式得:
√[bc/(c+a)(a+b)]≤(1/2)[c/(c+a)+b/(a+b)]
√[ca/(a+b)(b+c)]≤(1/2)[a/(a+b)+c/(b+c)]
√[ab/(b+c)(c+a)]≤(1/2)[b/(b+c)+a/(c+a)]
所以
cotβ*cotγ+cotγ*cotα+cotα*cotβ=
√[bc/(c+a)(a+b)]+√[ca/(a+b)(b+c)]+√[ab/(b+c)(c+a)]≤
(1/2)[c/(c+a)+b/(a+b)+a/(a+b)+c/(b+c)+b/(b+c)+a/(c+a)]
=3/2。
。收起