求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线
存在性证明 过直线b作平面A平行于a,将a向A投影得a'交b于点p 过点p作直线c垂直于A ∵c⊥A ∴c⊥b且c⊥a' ∵a‖a'且c∩a'=p ∴c⊥a=p' 则c即为a,b公垂线 唯一性证明 假设公垂线不唯一,过b上任一点m作公垂线交a于n ∵mn⊥a a‖a' ∴mn⊥a' 又∵mn⊥b ∴mn⊥A ∵mn∩a=n且mn⊥a' ∴mn∩a'=n' 过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面 ∴m=n'=p(三点重合) 得过点p有两条直线与A垂直,与定理(过平面上一点有且只有一条直线垂直于平面)矛盾,故假设不成立。 唯一性得证。 (好久不证了,有点生。有什么不对的你还得自己改改)。全部
存在性证明 过直线b作平面A平行于a,将a向A投影得a'交b于点p 过点p作直线c垂直于A ∵c⊥A ∴c⊥b且c⊥a' ∵a‖a'且c∩a'=p ∴c⊥a=p' 则c即为a,b公垂线 唯一性证明 假设公垂线不唯一,过b上任一点m作公垂线交a于n ∵mn⊥a a‖a' ∴mn⊥a' 又∵mn⊥b ∴mn⊥A ∵mn∩a=n且mn⊥a' ∴mn∩a'=n' 过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面 ∴m=n'=p(三点重合) 得过点p有两条直线与A垂直,与定理(过平面上一点有且只有一条直线垂直于平面)矛盾,故假设不成立。
唯一性得证。 (好久不证了,有点生。有什么不对的你还得自己改改)。收起