已知双曲线的右焦点为F

已知双曲线的右焦点为F, 过F且斜率为根号三的直线交C于AB两点 FA=4FB,求离心率

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2018-06-09

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若双曲线焦点在横轴上，设其方程为b2x2-a2y2=a2b2，设其半焦距是c，则可设AB方程为根号3（x-c）=y,代入双曲线方程，得（b2-3a2）x2 6a2cx-3a2c2-a2b2=0设A(x1y1)B(x2y2)由伟大定理得x1 x2=6a2c/(3a2-b2)……（1）由FA=4FB得y1=-4y2,故根号3（x1-c）=-4*根号3（x2-c）得x1 4x2=5c……（2）FA=ex1-a,FB=ex2-a, 由FA=4FB得e(x1-4x2)=-3a……（3）。
1，2，3式；联立可得36a4-61a2c2 25c4=0各项除以a4，再以e代c/a得25e4-61e2 36=0配方解得e=6/5当焦点在纵轴上时，可以同理求解。

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