已知F1,F2是椭圆
解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB与x轴夹角为A,c²=a²-b²
于是S△F1AB=S△AF1F2+S△BF1F2
```````````=(1/2)|F1F2||y1-y2|
```````````=c|y1-y2|,
而c为定值,则在|y1-y2|取最大值时,S△F1AB最大。
过F2的直线AB的方程为y=k(x-c) (若k存在),则x=y/k+c。
代入椭圆方程并整理得：(1/a²k²+1/b²)y²+2cy/a²k+c²/a²-1=0
|y1-y2|²=...全部
解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB与x轴夹角为A,c²=a²-b²
于是S△F1AB=S△AF1F2+S△BF1F2
```````````=(1/2)|F1F2||y1-y2|
```````````=c|y1-y2|,
而c为定值,则在|y1-y2|取最大值时,S△F1AB最大。
过F2的直线AB的方程为y=k(x-c) (若k存在),则x=y/k+c。
代入椭圆方程并整理得：(1/a²k²+1/b²)y²+2cy/a²k+c²/a²-1=0
|y1-y2|²=(y1+y2)²-4y1y2
````````=4a²b^4k²(1+k²)/[b²+(b²+c²)k²]
````````=[2ab²/(c²sinA+b²/sinA)]²
(1)当b≤c时,由sinA>0,得
|y1-y2|≤2ab²/2√(c²sinA·b²/sinA)=ab/c,S△F1AB≤c·ab/c=ab。
当且仅当c²sinA=b²/sinA,sinA=b/c≤1时,S△F1AB的最大值为ab；
(2)当b>c时,
c²sinA+b²/sinA=c²sinA+c²/sinA+(b²-c²)/sinA
``````````````≥2c²+(b²-c²)/sinA
``````````````≥2c²+b²-c²
``````````````=a²。
当且仅当sinA=1时,c²sinA+b²/sinA有最小值a²。
从而,S△F1AB≤c·2b²/a=2b²c/a,即S△F1AB有最大值2b²c/a。
收起
