用排列组合数的定义证明：Crm＋n＝Cmr +Cmr-1Cn1+Cnr-2Cn2+……＋Cm1Cnr-1+Cnr 2、某校高中三个年级进行排球比赛，各个年级都有六个班，每个班都有一支男生排球队，首先各个年级进行单循环赛，选出第一二名进行第二轮比赛，第二轮中，除第一轮赛过的外，每队都应该和其它队比赛一次，文共需要多少场比赛？
1)有甲类各不相同的元素m个和各不相同的乙类元素n个。从这m+n个元素中任意取r个元素的组合数是C(m+n)
在这些组合中，可以分为有零个、一个、两个、三个、……、r个乙类元素，同时对应的有r个、r-1个、r-2个、……、0个甲类元素的组合组成。 它们的组合数依次是
C(m,r)C(n,0),C(m,r-1)C(n,1),C(m,r-2)C(n,2),……,C(m-0)C(n,r)
依“加法原则”，这些组合数应该相加，就是
C(m,r)+C(m,r-1)C(n,1)+C(m,r-2)C(n,2)+……+C(m,1)C(n,r-1)+C(n,r)
这两种不同途径得到的组合数是相等的，所以…...全部
1)有甲类各不相同的元素m个和各不相同的乙类元素n个。从这m+n个元素中任意取r个元素的组合数是C(m+n)
在这些组合中，可以分为有零个、一个、两个、三个、……、r个乙类元素，同时对应的有r个、r-1个、r-2个、……、0个甲类元素的组合组成。
它们的组合数依次是
C(m,r)C(n,0),C(m,r-1)C(n,1),C(m,r-2)C(n,2),……,C(m-0)C(n,r)
依“加法原则”，这些组合数应该相加，就是
C(m,r)+C(m,r-1)C(n,1)+C(m,r-2)C(n,2)+……+C(m,1)C(n,r-1)+C(n,r)
这两种不同途径得到的组合数是相等的，所以……得证。
2)第一阶段的比赛共有3C(6,2)场
第二阶段的比赛应该是P(6,2)场中排除三个小组在已经在第一阶段在曾经对阵过的三场，故有C(6,2)-3
因此所有比赛的场数是3C(6,2)+[C(6,2)-3}=57。
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