高一年级进行数学竞赛,已知共有40个学生参加考试(共3道题),参赛情况如下:1.40个学生每人都至少解出一道题:2.在没有解出第一道题的学生中,解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍;3.仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个;4.仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题.试问:1.仅解出第二道题的学生有几个? 2.解出第一道题的学生有几个?
设仅解出第一、二、三道题的学生分别为x,y和z人;
同时解出第一、二或二、三或一、三的学生分别为a,b,c人;
同时解出三道题的有m人。
则由题意得:
x+y+z+(a+b+c)+m=40 ……(1)
y+b=2(z+b) ……(2)
x=(a+c+m)+1 ……(3)
x=y+z ……(4)
解方程:
由(2)式得b=y-2z ……(5)
由(3)式得a+c+m=x-1 ……(6)
将(5),(6)式代入(1)式得2x+2y-z=41 ……(7)
故z为奇数
当z=1时:解(4),(7)式得x=11,y=10,再由(5)式得b=8
当z=3时:解(4),(7)式得x=7,y=4,再由(5)式得b=-23时不成立。
所以:仅解出第二道题的学生=y=10(人);
解出第一道题的学生=x+(a+c+m)=2x-1=22-1=21(人)。
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