高数极限谁能证明单调有界数列必有
微积分学有五个最基本的命题,假定其中一个是正确的,其它四个命题就可以予以证明,即只有当把其中一个命题作为公理,其它四个命题就成为定理,微积分学就是在这个基础上演绎出来的。“单调有界数列必有极限”就是这五个命题之一,所以在高等数学里是不证明的。
在不同的数学分析教材里,会选择不同的命题作为公理,有的教材刻意回避说“公理”,会糊里糊涂说出一个让你接受的命题,实际上它是把这作为公理使用的。
很多教材是把“数列若有上界,就一定存在最小上界(上确界)”作为公理的,在这个命题正确的前提下,证明“单调有界数列必有极限”就非常容易了。
下面证明“单调增加的数列若有上界必有极限”:
因为数列{x(n...全部
微积分学有五个最基本的命题,假定其中一个是正确的,其它四个命题就可以予以证明,即只有当把其中一个命题作为公理,其它四个命题就成为定理,微积分学就是在这个基础上演绎出来的。“单调有界数列必有极限”就是这五个命题之一,所以在高等数学里是不证明的。
在不同的数学分析教材里,会选择不同的命题作为公理,有的教材刻意回避说“公理”,会糊里糊涂说出一个让你接受的命题,实际上它是把这作为公理使用的。
很多教材是把“数列若有上界,就一定存在最小上界(上确界)”作为公理的,在这个命题正确的前提下,证明“单调有界数列必有极限”就非常容易了。
下面证明“单调增加的数列若有上界必有极限”:
因为数列{x(n)}有上界,则存在上确界a,对任ε>0,a-ε不是上界,故存在N,使a-εN时,有a-ε∞>x(n)=a。
“单调减少的数列若有下界必有极限”的证明,只要对数列每一项乘以-1,就得到一个“单调增加的数列且有上界”,利用上面的结果就可以得到证明了。
两者综合,就证明了“单调有界数列必有极限”。收起