设抛物线y^2=4px(p＞0)的准线与x轴的交点为M，过M点作直线L交抛物线于A,B两点，求线段AB中点的轨迹方程，请写出详细的过程和思路，同时最后的答案是y^2=2p(x+p)(x＞p),我想知道为什么需要加上x＞p这个定义域
设抛物线y^2=4px(p＞0)的准线与x轴的交点为M，过M点作直线L交抛物线于A,B两点，求线段AB中点的轨迹方程，请写出详细的过程和思路，同时最后的答案是y^2=2p(x+p)(x＞p),我想知道为什么需要加上x＞p这个定义域
抛物线y^2=4px(P＞0)的准线为x=-p
所以，准线与x轴的焦点M(-p，0)
设过点M(-p,0)与抛物线相交的直线的方程为：y=k(x+p)
那么，联立直线与抛物线的方程就有：[k(x+p)]^2=4px
===> k^2(x^2+2px+p^2)-4px=0
===> k^2x^2+2p(k^2-2)x+k^2p^2=0
因为直线与抛物线在x＞0时有...全部
设抛物线y^2=4px(p＞0)的准线与x轴的交点为M，过M点作直线L交抛物线于A,B两点，求线段AB中点的轨迹方程，请写出详细的过程和思路，同时最后的答案是y^2=2p(x+p)(x＞p),我想知道为什么需要加上x＞p这个定义域
抛物线y^2=4px(P＞0)的准线为x=-p
所以，准线与x轴的焦点M(-p，0)
设过点M(-p,0)与抛物线相交的直线的方程为：y=k(x+p)
那么，联立直线与抛物线的方程就有：[k(x+p)]^2=4px
===> k^2(x^2+2px+p^2)-4px=0
===> k^2x^2+2p(k^2-2)x+k^2p^2=0
因为直线与抛物线在x＞0时有两个交点，所以：
△=b^2-4ac＞0
===> 4p^2(k^2-2)^2-4k^4p^2＞0
===> (k^2-2)^2-k^4＞0
===> 4(1-k^2)＞0
===> -1＜k＜1，且k≠0……………………………………（1）
设直线与抛物线的两个交点A(x1,k(x1+p))、B(x2,k(x2+p))，则：
x1+x2=-b/a=-2p(k^2-2)/k^2
所以，AB中点C的横坐标为：X=(x1+x2)/2=-p(k^2-2)/k^2
=[(2/k^2)-1]p………………………………………………（2）
由(1)式知，0＜k^2＜1，所以：2/k^2＞2
所以，X＞p
C点的纵坐标为：Y=k(X+p)
由(2)得到：X+p=[(2/k^2)p-p]+p=(2p)/k^2
===> Y=k*(2p/k^2)=2p/k
===> Y^2=4p^2/k^2…………………………………………（3）
又，由(2)得到：(2p)/k^2=X+p
===> k^2=(2p)/(X+p)
代入到(3)就有：
===> Y^2=4p^2/[(2p)/(X+p)]=2p*(X+p)
所以，AB中点C的轨迹方程是：
y^2=2p*(x+p)（x＞p）。
收起
