求正三角形边长
如图
以PB为边向△ABC外作正三角形DBP,连接AD
设正△ABC的边长为m
因为∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°
∠DBP=∠DBA+∠ABP=60°
所以,∠DBA=∠PBC
又因为DB=PB=b,AB=CB=m
所以,△DBA≌△PBC
所以,AD=PC=c
那么,在△ADP中,令∠ADP=θ,那么:
cosθ=(b^+c^-a^)/(2bc)
所以,sinθ=√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
那么,在△ADB中,根据余弦定理有:
AB^=AD^+BD^-2AD*BD*cos∠ADB
即:
m^=b^+c^-2bccos(θ+60...全部
如图
以PB为边向△ABC外作正三角形DBP,连接AD
设正△ABC的边长为m
因为∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°
∠DBP=∠DBA+∠ABP=60°
所以,∠DBA=∠PBC
又因为DB=PB=b,AB=CB=m
所以,△DBA≌△PBC
所以,AD=PC=c
那么,在△ADP中,令∠ADP=θ,那么:
cosθ=(b^+c^-a^)/(2bc)
所以,sinθ=√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
那么,在△ADB中,根据余弦定理有:
AB^=AD^+BD^-2AD*BD*cos∠ADB
即:
m^=b^+c^-2bccos(θ+60°)
=b^+c^-2bc[cosθcos60°-sinθsin60°]
=(b^+c^)-bccosθ+√3bcsinθ
=(b^+c^)-[(b^+c^-a^)/2]+√3bc*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
=(a^+b^+c^)/2+(√3/2)*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]
所以,
m={(a^+b^+c^)/2+(√3/2)*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]}^(1/2)。
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