中线三角形的外接圆半径非钝角三角
命题 非钝角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径不小于原三角形外接圆半径的5/6。
证明 设非钝角ΔABC的三边长为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，R,Δ为非钝角ΔABC的外接圆半径和面积。 而以非钝角ΔABC三中线组成的ΔA'B'C'的外接圆半径和面积分别为Rm,Δm。显然Δm=3Δ/4。命题转化:
Rm≥5R/6 (1)
根据三角形恒等式:abc=4*R*Δ，ma*mb*mc=4*Rm*Δm。 故只需证明:
8*ma*mb*mc≥5*a*b*c (2)
即 64*(ma*mb*mc)^2≥25(a*b*c)...全部
命题 非钝角三角形的三条中线组成的三角形，它的外接圆半径不小于原三角形外接圆半径的5/6。
证明 设非钝角ΔABC的三边长为a,b,c，相对应的中线分别为ma,mb,mc，R,Δ为非钝角ΔABC的外接圆半径和面积。
而以非钝角ΔABC三中线组成的ΔA'B'C'的外接圆半径和面积分别为Rm,Δm。显然Δm=3Δ/4。命题转化:
Rm≥5R/6 (1)
根据三角形恒等式:abc=4*R*Δ，ma*mb*mc=4*Rm*Δm。
故只需证明:
8*ma*mb*mc≥5*a*b*c (2)
即 64*(ma*mb*mc)^2≥25(a*b*c)^2 (3)
据三角形中线公式: 4*(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2，4*(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2，4*(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2，
所以(3)式等价于:
(2b^2+2c^2-a^2)*(2c^2+2a^2-b^2)*(2a^2+2b^2-c^2)≥25*a^2*b^2*c^2 (4)
设a=max(a,b,c),所以b^2+c^2≥a^2
(4) -2*(a^6+b^6+c^6)+3*[a^4*(b^2+c^2)+a^2*(b^4+c^4)+b^2*c^2*(b^22+c^2)-11*a^2*b^2*c^2≥0,
[(a^2-b^2)*(a^2-c^2)+a^4]*(b^2+c^2-a^2)+2*(2*a^2-b^2-c^2)*(b^2-c^2)^2≥0。
显然成立，当三角形三角之比为:2:1:1时等号成立。
。收起
