高中数学几何证明

已知在三棱锥A-BCD中，AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD。不要建立空间坐标系，用普通的几何证明。

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2011-03-06

0 0

已知在三棱锥A-BCD中，AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD。
如图过点A作底面BCD的垂线，垂足为O 连接BO并延长，交CD于点E；连接DO并延长，交BC于点F；连接CO并延长，交BD于点G 因为AO垂直面ABCD，所以：AO⊥CD，AO⊥BC，AO⊥BD 已知AB⊥CD 所以，CD⊥面ABO 则，CD⊥BE 同理，已知BC⊥AD 所以，BC⊥面ADO 所以，BC⊥DF 则，点O为△BCD的垂心那么，CG⊥BD 已知，AO⊥BD 所以，BD⊥面ACG 所以，AC⊥BD。

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w***

2011-03-06

50 0

证明：做BE⊥CD于E,CF⊥BD于F,BE、CF交于O，连接AO，DO,则O点为∆BCD的垂心 ∴DO⊥BC ∵AB⊥CD,BE⊥CD ∴CD⊥面ABE ∴CD⊥AO 同理BD⊥AO ∴AO⊥面BCD ∴AO⊥BC ∴BC⊥面AOD ∴AD⊥BC

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l***

2011-03-06

49 0

证明：作BE⊥CD于E,CF⊥BD于F,BE、CF交于O，连接AO，DO,则O点为∆BCD的垂心 ∴DO⊥BC ∵AB⊥CD,BE⊥CD CD⊥面ABE ∴CD⊥AO 同理BD⊥AO 则：AO⊥面BCD ∴AO⊥BC ∴BC⊥面AOD 那么：AD⊥BC

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l***

2011-03-06

37 0

找到 A 在平面BCD上的投影 H，AB⊥CD得到BH⊥CD， BC⊥AD得到DH⊥BC，三角形三条高交于一点，所以CH⊥BD,所以AC⊥BD

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