方程根成等差数列

函数f(x)=(x^2-2)(x^2-4)+k.方程f(x)=0有4个不等实数解，从小到大排列成等差数列。求k.

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2011-03-01

0 0

f(x)是偶函数，若m(m>0)是方程解，则-m也是方程解。可以设这方程4个成等差数列的解为-3m,-m,m,3m。
(m^2-2)(m^2-4)+k=0=(9m^2-2)(9m^2-4)+k m^4-6m^2+8+k=0=81m^4-54m^2+8+k 80m^4-48m^2=0, m^2=48/80=3/5 k=-(m^2-2)(m^2-4)=-(-7/5)(-17/5)=-119/25 。

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T***

2011-03-01

43 0

函数f(x)=(x^2-2)(x^2-4)+k。方程f(x)=0有4个不等实数解，从小到大排列成等差数列。求k。
因为f(-x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数那么，f(x)=0如果有根x=α，那么x=-α也一定是它的根所以，不妨设f(x)=0的四个根为-α，-β，β，α（α＞β＞0）已知它们成等差数列，那么：-α+β=2*(-β) 即，α=3β 又，α、β是f(x)=0的根，则： (α^2-2)*(α^2-4)+k=0 (β^2-2)*(β^2-4)+k=0………………………………………………（1） ===> α^4-6α^2+8+k=0，β^4-6β^2+8+k=0 ===> α^4-6α^2=β^4-6β^2 ===> (3β)^4-6(3β)^2=β^4-6β^2 ===> 81β^4-54β^2=β^4-6β^2 ===> 80β^4=48β^2 ===> β^2=48/80=3/5 代入(1)得到：[(3/5)-2]*[(3/5)-4]+k=0 ===> (-7/5)*(-17/5)+k=0 ===> (119/25)+k=0 ===> k=-119/25。

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l***

2011-03-01

47 0

解：设y=x²，原方程变为：y²-6y+8+k=0; 假设此方程有实根α，β，（0<α<β) 则原来方程有4个实根±√α，±√β，因为四个不等的实数解从小到大排列成等差数列，那么：√β-√α=√α-（-√α）即：β=9α ……（1） α+β=6……（2） α·β=8+k……（3）解（1）、（2）（3）得 α=0。
6，β=5。4,k=-4。76。所以：k的值是-4。76。。

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p***

2018-01-22

已知函数函数在区间上为增函数

  把和的解析式代入中得到的解析式,求出,由已知函数为增函数得到当大于时导函数恒大于等于,解出大于等于一个函数,求出这个函数的最大值,列出关于的不等式,求出的范围即可;令,根据此方程有唯一的正实数解得到,求出的值,求出,分解因式并把各项列举出来,当大于等于时,利用二项式定理判断导函数的正负即可得到函数的单调性,根据函数的增减性得到函数的最小值为;把等于代入函数解析式中得到的值也符合最小值的代数式,综上得到当大于等于时函数的最小值;根据得到的最小值为,当大于等于时求出倒数即可得到小于等于,又放大不等式得到其值小于等于,同时等于等于,列举出不等式的左边各项,利用推出的不等式和等比数列的求和公式得证。
   解:,。由已知,当时,恒成立推出。
  易求当时,函数的最大值为,,解得;,即有唯一正实数解。由知,解得。,当时,由二项式定理知。当时,,即函数在上递减。当时,,即函数在上递增。当时,函数的最小值为。又当时,函数的最小值为;。
  当时, 此题考查学生会利用导函数的正负确定原函数的单调区间,会根据函数的增减性求出函数的最值,掌握导数在函数最值中的应用,灵活运用二次项定理及等比数列的前项和的公式化简求值,是一道比较难的题。收起

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