证明已知f(x)=ax^3+bx
由题设知，
f(0)=d，f(1)=a+b+c+d，f(-1)=-a+b-c+d，
f(2)=8a+4b+2c+d。
因f(0)、f(1)是整数，所以d、a+b+c是整数，
又因f(-1)=2b+d-(a+b+c)是整数，则2b是整数。
又f(2)=6a+2b+d+2(a+b+c)是整数，
从而6a+2b是整数，由此知6b也是整数。
而ax^3+bx^2+cx+d
=a(x^3-x)+b(x^2-x)+(a+b+c)x+d
=[x(x-1)(x+1)/6]·(6a)+[x(x-1)/2]·(2b)+(a+b+c)x+d。
而当x∈Z时，6|x(x-1)(x+1)，且2|x(x-1)...全部
由题设知，
f(0)=d，f(1)=a+b+c+d，f(-1)=-a+b-c+d，
f(2)=8a+4b+2c+d。
因f(0)、f(1)是整数，所以d、a+b+c是整数，
又因f(-1)=2b+d-(a+b+c)是整数，则2b是整数。
又f(2)=6a+2b+d+2(a+b+c)是整数，
从而6a+2b是整数，由此知6b也是整数。
而ax^3+bx^2+cx+d
=a(x^3-x)+b(x^2-x)+(a+b+c)x+d
=[x(x-1)(x+1)/6]·(6a)+[x(x-1)/2]·(2b)+(a+b+c)x+d。
而当x∈Z时，6|x(x-1)(x+1)，且2|x(x-1)，
∴f(x)是整数。收起
