高中数学

高中数学高手进椭圆的中心是原点O

椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2倍根号2，相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点 (1)求椭圆方程及离心率 椭圆焦点F(c,0)（c＞0）位于x轴上，，椭圆中心在原点 所以，设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 已知短轴长为2√2，即2b=2√2 所以，b=√2 则，椭圆为x^2/a^2+y^2/4=1（a＞1） |0F|=c，|FA|=(a^2/c)-c 所以：c=2[(a^2/c)-c] ===> c=(2a^2/c)-2c ===> 3c=2a^2/c ===> 3c^2=2a^2 ===> (c...全部

  椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2倍根号2，相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点 (1)求椭圆方程及离心率 椭圆焦点F(c,0)（c＞0）位于x轴上，，椭圆中心在原点 所以，设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 已知短轴长为2√2，即2b=2√2 所以，b=√2 则，椭圆为x^2/a^2+y^2/4=1（a＞1） |0F|=c，|FA|=(a^2/c)-c 所以：c=2[(a^2/c)-c] ===> c=(2a^2/c)-2c ===> 3c=2a^2/c ===> 3c^2=2a^2 ===> (c/a)^2=2/3 ===> e^2=2/3 ===> e=√6/3 又，c^2=a^2-b^2 ===> (2/3)a^2=a^2-2 ===> (1/3)a^2=2 ===> a^2=6 所以，椭圆方程为：x^2/6+y^2/2=1 (2)若op垂直oQ，求直线PQ的方程 由(1)知，a^2=6,b^2=2 所以，c^2=a^2-b^2=4 所以，c=2 则，a^2/c=3 所以，点A(3,0) 设过点A的直线PQ方程为：y=k(x-3) 联立直线与椭圆方程有：x^2/6+y^2/2=1，y=k(x-3) ===> x^2+3[k(x-3)]^2-6=0 ===> x^2+3k^2x^2-18k^2x+27k^2-6=0 ===> (3k^2+1)x^2-18k^2x+(27k^2-6)=0 所以：x1+x2=18k^2/(3k^2+1)，x1x2=(27k^2-6)/(3k^2+1) 设点P(x1,y1),Q(x2,y2) 则，Kop=(y1-0)/(x1-0)=y1/x1 Koq=(y2-0)/(x2-0)=y2/x2 已知OP⊥OQ 所以，Kop*Koq=-1 ===> (y1/x1)*(y2/x2)=-1 ===> [k(x1-3)/x1]*[k(x2-3)/x2]=-1 ===> k^2(x1-3)(x2-3)=-x1x2 ===> k^2*[x1x2-3(x1+x2)+9]=-x1x2 ===> k^2*[(27k^2-6)/(3k^2+1)-3*18k^2/(3k^2+1)+9]=-(27k^2-6)/(3k^2+1) ===> k^2*[(27k^2-6-54k^2+27k^2+9)/(3k^2+1)]=(-27k^2+6)/(3k^2+1) ===> 3k^2/(3k^2+1)=(-27k^2+6)/(3k^2+1) ===> 30k^2=6 ===> k^2=1/5 ===> k=±√5/5 所以，PQ所在直线方程为：y=(±√5/5)(x-3)。
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